双曲線の準円

2017年5月28日

双曲線の準円の問題です。楕円と比べて除かなければならない点があったりするので少し慎重にやらなければなりません。

１．(浜松医大)
点P $(p,q)$ から双曲線 $\dfrac{x^2}{2}-y^2=1$ に直交する2本の接線が引けるとき，点Pの軌跡を求めよ．

２．(同志社大)
双曲線 $C:x^2-\dfrac{y^2}{4}=-1$ について
(1) $C$ の漸近線の方程式を求めよ．
(2) $m$ を任意の実数として，直線 $y=mx$ が曲線 $C$ に接していないことを示せ．
(3) 点A $(\sqrt{3},0)$ を通る $C$ の接線の方程式をすべて求めよ．
(4) $C$ 上にない点P $(p,q)$ を通る $C$ の接線がちょうど2本あって，2本の接線が直交するとき， $p,q$ が満たすべき条件を求めよ．