焦点

2次曲線の焦点にかかわる問題です。焦点とは何か、焦点がどのような性質をもっているのかをつかんで下さい。まずは放物線の焦点から。まずはパラボラアンテナの原理および焦点とは何かという問題からです。ちなみにパラボラとは放物線のことです。

1.(津田塾大)
Cを放物線y=\dfrac{1}{4a}x^2~(a>0)とし,Fを点(0,a)とする.C上に頂点以外の点Pをとる.Pを通る接線をlly軸の交点をT,Pを通りy軸に平行な直線をgとする.
(1) \bigtriangleupFTPは二等辺三角形であることを示せ.
(2) lgのなす角はFPとlのなす角に等しいことを示せ.

次に放物線の焦点の性質の問題をいくつか。

2.(法政大)
放物線y^2=4pxの焦点を通る直線が放物線と交わる点をA, Bとするとき,A, Bにおける放物線の接線は直交することを示せ.

3.(東京水産大)
放物線y^2=4pxの弦PQの両端と頂点Oとを結ぶ線分PO, QOが直交するならば,弦PQは定点を通過することを証明せよ.

4.(一橋大)
放物線y^2=4px~(p>0)の焦点Fを通る弦PQを直径とする円は,この放物線の準線に接することを証明せよ.また,その接点と焦点Fを結ぶ直線は,弦PQに垂直であることを証明せよ.

次は楕円の焦点の問題です。

5.(大阪歯科大)
だ円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(ただし,a>b>0)の焦点をF, F’とするとき,周上の点Pにおける接線は\angle\mbox{F'PF}の外角を2等分することを証明せよ.

最後に双曲線の焦点の問題です。

6.
双曲線\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>b>0)上の点P(x_1,y_1)における接線は,点Pと2つの焦点をF,~F’とを結んでできる,\angleFPF’を2等分することを証明せよ.ただし,x_1>0,~y_1>0とする.

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