双曲線の性質

2017年5月28日

双曲線の性質の問題です。これまでは放物線、楕円、双曲線に共通に成り立つ性質について取り上げてきましたが、ここでは双曲線固有に成り立つ有名な性質をいくつか挙げておきます。

１．(弘前大)
双曲線 $C:9x^2-y^2=9$ について，
(1) この双曲線の焦点の座標と漸近線の方程式を求めよ．
(2) 直線 $l:y=mx+n$ と双曲線 $C$ が異なる2つの共通点をもつための条件を $m,~n$ の式で表せ．
(3) 直線 $l$ と双曲線 $C$ の共通点をP, Q，直線 $l$ と双曲線 $C$ の2本の漸近線との共通点をR, Sとするとき， $\mbox{PR}=\mbox{QS}$ が成立することを証明せよ．

２．(名古屋市立大)
双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ がある．ただし， $a>0,~b>0$ とする．
(1) 2つの漸近線のなす角を $\theta$ とするとき， $\sin\theta$ を求めよ．
(2) 双曲線上の点P $(p,q)~(p>0,~q>0)$ を通り，2つの漸近線に平行な直線を引き，それぞれが漸近線と交わる点をQ, Rとする．このとき，平行四辺形OQPR (Oは原点)の面積を求めよ．

３．(信州大)
$a>0,~b>0$ とする．双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点P $(p,q)$ における接線がこの双曲線の2本の漸近線と交わる点をそれぞれQ, Rとする．
(1) 点Pは線分QRの中点であることを証明せよ．
(2) Oを原点とするとき， $\bigtriangleup$ OQRの面積を求めよ．

４．(福井医大)
$t$ が0以外の実数を動くとき， $x=t+\dfrac{1}{t},~y=t-\dfrac{1}{t}$ と表される双曲線 $C$ に関して，
(1) $C$ の焦点F, F’および漸近線を求めよ．ただし，Fの $x$ 座標はF’の $x$ 座標より大とする．
(2) $t>1$ とし， $C$ 上の点P $\left(t+\dfrac{1}{t},t-\dfrac{1}{t}\right)$ での接線と2つの漸近線との交点をQ,~Rとする．このとき， $\angle$ QFRの大きさは一定であることを示し，その角度を求めよ．ただし，Qの $y$ 座標はRの $y$ 座標より大とする．

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