2次曲線と軌跡２

2017年5月28日

１と続きです。次も有名問題です。放物線、楕円、双曲線のそれぞれの定義を考えれば明らかです。

１．
(1) 直線 $x=-1$ に接し，点A $(1,0)$ を通る円の中心Pの軌跡の方程式を求めよ．
(2) 円 $(x-3)^2+y^2=1$ と直線 $x=-2$ の両方に接するような円の中心の軌跡を求めよ．

２．(早稲田大)
座標平面上に，原点を中心とする半径3の円Aと，点 $(-1,0)$ を中心とする半径1の円Bがある．円Aと内接し，円Bと外接する円の中心が描く軌跡を求めよ．

３．(名古屋市立大)
$xy$ 平面上に原点を中心とする円 $C_1$ と $(2,0)$ を中心とする円 $C_2$ があり，ともに $(1-\sqrt{2},0)$ を通るとする．点Pを中心とする円 $C_3$ が円 $C_1$ の外側かつ円 $C_2$ の内側で円 $C_1$ と円 $C_2$ の両方に接するように点Pが動くとき，
(1) 点Pの軌跡を求め $xy$ 平面上に図示せよ．
(2) (1)の軌跡の $x \geqq 0$ の部分と $y$ 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

４．(筑波大)
(1) 点 $(3,0)$ を通り，円 $(x+3)^2+y^2=4$ と互いに外接する円の中心 $(X,Y)$ の軌跡を求めよ．
(2) (1)の軌跡上の点と定点 $(0,a)$ との距離の最小値を求めよ．

５．(奈良女子大)
$xy$ 平面上の円 $C_1,~C_2$ を次のように定める．
$C_1:x^2+y^2=4$
$C_2:(x-2)^2+y^2=1$
このとき， $C_1,~C_2$ に外接する円 $C$ の中心の軌跡を求めよ．

６．(北海道大)
中心がそれぞれ， $(-2,0),~(2,0)$ である半径1の円 $A,~B$ を考える．円 $C$ が， $A$ を内側に含み， $B$ の外側にあり，しかも $A,~B$ の両方に接しながら動くとき，
(1) 円 $C$ の中心の軌跡を求めよ．
(2) 円 $C$ が直線 $y=2$ に接するとき， $C$ の半径を求めよ．

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