2次曲線と軌跡4

次も有名な問題です。放物線の2接線が直交する場合その交点の軌跡は直線 (準線)となりますが、それ以外の角度で交わる場合に交点の軌跡はどうなるかという問題です。

1.(筑波大)
放物線C:y=x^2上の異なる2点P(t,t^2),~Q(s,s^2)~(s<t)における接線の交点をR(X,Y)とする.
(1) X,~Yt,~sを用いて表せ.
(2) 点P, Qが\angle\mbox{PRQ}=\dfrac{\pi}{4}を満たしながらC上を動くとき,点Rは双曲線上を動くことを示し,かつ,その双曲線の方程式を求めよ.

2.(京都大)
放物線y=x^2に,点Pから2つの接線を引き,それらの交角が60°であるように点Pが動くとき,点Pの軌跡を求めよ.

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