2次曲線と軌跡5

次は同じ焦点をもつ楕円と双曲線の交点におけるそれぞれの接線は直交しますが、その性質を利用した軌跡の問題です。

1.(同志社大)
実数a,~ba>0,~b>1を満たすとする.2曲線
C_1:x^2-\dfrac{y^2}{a^2}=1,~C_2:\dfrac{x^2}{b^2}+y^2=1
の第1象限における交点をP(s,t)とし,Pにおける2曲線C_1C_2の接線をそれぞれL_1,~L_2とする.
(1) sおよびta,~bを用いて表せ.
(2) 2直線L_1,~L_2が直交するとき,baで表せ.
(3) 実数a,~bが(2)の条件を満たしながら変化するとき,Pの軌跡を求めよ.

2.(筑波大)
xy平面上に楕円C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{9}=1~(a>\sqrt{13})および双曲線C_2:\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{b^2}=1~(b>0)があり,C_1C_2は同一の焦点をもつとする.また,C_1C_2の交点P\left(2\sqrt{1+\dfrac{t^2}{b^2}},t\right)~(t>0)におけるC_1,~C_2の接線をそれぞれl_1,~l_2とする.
(1) abの間に成り立つ関係式を求め,点Pの座標をaを用いて表せ.
(2) l_1l_2が直交することを示せ.
(3) aa>\sqrt{13}を満たしながら動くときの点Pの軌跡を図示せよ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ