多変数関数の最大最小2

2017年7月10日

1文字を固定して定数とみてあとからそれを動かして考えるパターンです。まずは文字に制約がない場合から。

1.(東京大)
(1) tを実数の定数とする.実数全体を定義域とする関数f(x)
f(x)=-2x^2+8tx-12x+t^3-17t^2+39t-18
と定める.このとき,関数f(x)の最大値をtを用いて表せ.
(2) (1)の「関数f(x)の最大値」をg(t)とする.tt \geqq -\dfrac{1}{\sqrt{2}}の範囲を動くとき,g(t)の最小値を求めよ.

解答

次に文字に制約がある場合です。

2.(東京理科大)
(1) 正の定数aに対して,式z=-ay^2+2a^2y-2a^3+aを考える.yの範囲0 \leqq y \leqq 2aを動くとき,zのとり得る値の範囲を,aを用いて表せ.
(2) 式z=-xy^2+2x^2y-2x^3+xを考える.x,~yが条件0 \leqq x \leqq 1,~0 \leqq y \leqq 2xを満たしながら動くとき,zの最大値,最小値を求めよ.また,そのときのx,~yの値を求めよ.

解答

3.(上智大)
次の4つの不等式で表される座標平面上の領域をDとする.
x \geqq 0,~y \geqq 0,~x+y \leqq 3,~x-y \leqq 1
(x,y)が領域Dを動くとき,z=\dfrac{1}{3}y^3-\dfrac{7}{2}y^2-xy+3x+12yの最大値を考える.
(1) c0 \leqq c \leqq 3を満たす定数とする.y=cとしたとき,zの最大値をf(c)とする.f(c)を求めよ.
(2) 点(x,y)が領域Dを動くとき,zの最大値とそのときのx,~yの値を求めよ.

解答

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