多変数関数の最大最小２

2017年6月4日2017年7月10日

1文字を固定して定数とみてあとからそれを動かして考えるパターンです。まずは文字に制約がない場合から。

１．(東京大)
(1) $t$ を実数の定数とする．実数全体を定義域とする関数 $f(x)$ を
$f(x)=-2x^2+8tx-12x+t^3-17t^2+39t-18$
と定める．このとき，関数 $f(x)$ の最大値を $t$ を用いて表せ．
(2) (1)の「関数 $f(x)$ の最大値」を $g(t)$ とする． $t$ が $t \geqq -\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ の範囲を動くとき， $g(t)$ の最小値を求めよ．

→解答

次に文字に制約がある場合です。

２．(東京理科大)
(1) 正の定数 $a$ に対して，式 $z=-ay^2+2a^2y-2a^3+a$ を考える． $y$ の範囲 $0 \leqq y \leqq 2a$ を動くとき， $z$ のとり得る値の範囲を， $a$ を用いて表せ．
(2) 式 $z=-xy^2+2x^2y-2x^3+x$ を考える． $x,~y$ が条件 $0 \leqq x \leqq 1,~0 \leqq y \leqq 2x$ を満たしながら動くとき， $z$ の最大値，最小値を求めよ．また，そのときの $x,~y$ の値を求めよ．

→解答

３．(上智大)
次の4つの不等式で表される座標平面上の領域を $D$ とする．
$x \geqq 0,~y \geqq 0,~x+y \leqq 3,~x-y \leqq 1$
点 $(x,y)$ が領域 $D$ を動くとき， $z=\dfrac{1}{3}y^3-\dfrac{7}{2}y^2-xy+3x+12y$ の最大値を考える．
(1) $c$ を $0 \leqq c \leqq 3$ を満たす定数とする． $y=c$ としたとき， $z$ の最大値を $f(c)$ とする． $f(c)$ を求めよ．
(2) 点 $(x,y)$ が領域 $D$ を動くとき， $z$ の最大値とそのときの $x,~y$ の値を求めよ．