展開式の利用1

展開式を利用して解く割り算 (剰余)の問題です。数のときも展開式を利用して余りを求めたりしますが、それとほぼ同じです。

1.(関西大)
(1) (x+2)^4x^2で割ったときの余りを求めよ.
(2) x^4(x-2)^2で割ったときの余りを求めよ.
(3) nを正の整数とする.(x+2)^nx^2で割ったときの余りを求めよ.

2.(神戸大)
nを自然数とし,多項式P(x)P(x)=(x+1)(x+2)^nと定める.
(1) P(x)x-1で割ったときの余りを求めよ.
(2) (x+2)^nx^2で割ったときの余りを求めよ.
(3) P(x)x^2で割ったときの余りを求めよ.
(4) P(x)x^2(x-1)で割ったときの余りを求めよ.

3.(東京都立大)
(1) x^3x-1で割ったときの余りを求めよ.
(2) x^{12}x^4-1で割ったときの余りを求めよ.
(3) x^{13}x^4-1で割ったときの余りを求めよ.

4.(慶応大)
aは定数とする.
(1) A,~Bxについての整式とし,Ax^2-aで割ると余りがx+1Bx^2-aで割ると余りがxであるとする.ABx^2-aで割ったときの余りを求めよ.
(2) x^{150}x-aで割ったときの余りを求めよ.
(3) x^{150}x^2-aで割ったときの余りを求めよ.
(4) x^{151}x^2-aで割ったときの余りを求めよ.
(5) x^{151}x^5-aで割ったときの余りを求めよ.

5.(神戸大)
f(x)=x^2+ax+bとする.
(1) 整式P(x)f(x)で割った余りをcx+dxP(x)f(x)で割った余りをqx+rとするとき,pra,~b,~c,~dを用いて表せ.
(2) x^{2004}f(x)で割った余りが2x+1x^{2005}f(x)で割った余りがx+2となるようなa,~bはない.その理由を述べよ.

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