展開式の利用１

2017年6月4日

展開式を利用して解く割り算 (剰余)の問題です。数のときも展開式を利用して余りを求めたりしますが、それとほぼ同じです。

１．(関西大)
(1) $(x+2)^4$ を $x^2$ で割ったときの余りを求めよ．
(2) $x^4$ を $(x-2)^2$ で割ったときの余りを求めよ．
(3) $n$ を正の整数とする． $(x+2)^n$ を $x^2$ で割ったときの余りを求めよ．

２．(神戸大)
$n$ を自然数とし，多項式 $P(x)$ を $P(x)=(x+1)(x+2)^n$ と定める．
(1) $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余りを求めよ．
(2) $(x+2)^n$ を $x^2$ で割ったときの余りを求めよ．
(3) $P(x)$ を $x^2$ で割ったときの余りを求めよ．
(4) $P(x)$ を $x^2(x-1)$ で割ったときの余りを求めよ．

３．(東京都立大)
(1) $x^3$ を $x-1$ で割ったときの余りを求めよ．
(2) $x^{12}$ を $x^4-1$ で割ったときの余りを求めよ．
(3) $x^{13}$ を $x^4-1$ で割ったときの余りを求めよ．

４．(慶応大)
$a$ は定数とする．
(1) $A,~B$ は $x$ についての整式とし， $A$ を $x^2-a$ で割ると余りが $x+1$ ， $B$ を $x^2-a$ で割ると余りが $x$ であるとする． $AB$ を $x^2-a$ で割ったときの余りを求めよ．
(2) $x^{150}$ を $x-a$ で割ったときの余りを求めよ．
(3) $x^{150}$ を $x^2-a$ で割ったときの余りを求めよ．
(4) $x^{151}$ を $x^2-a$ で割ったときの余りを求めよ．
(5) $x^{151}$ を $x^5-a$ で割ったときの余りを求めよ．

５．(神戸大)
$f(x)=x^2+ax+b$ とする．
(1) 整式 $P(x)$ を $f(x)$ で割った余りを $cx+d$ ， $xP(x)$ を $f(x)$ で割った余りを $qx+r$ とするとき， $p$ と $r$ を $a,~b,~c,~d$ を用いて表せ．
(2) $x^{2004}$ を $f(x)$ で割った余りが $2x+1$ ， $x^{2005}$ を $f(x)$ で割った余りが $x+2$ となるような $a,~b$ はない．その理由を述べよ．

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