展開式の利用2

次の問題は商を求めなければならないので展開、因数分解を利用します。

1.(関西大)
f(x)n次の多項式でf(x)=x^n-nx+n-1とする.ただし,n \geqq 2とする.このとき,
(1) (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)を簡単にせよ.
(2) f(x)(x-1)で割り切れることを示し,その商の多項式g(x)を求めよ.
(3) g(x)(x-1)で割り切れることを示し,その商の多項式h(x)を求めよ.

2.(東京理科大)
n,~m,~lが自然数のとき
(1) x^nx^2-1で割った商A_n(x)と余りB_n(x)を求めよ.
(2) x^{2m}(x^2-1)^2で割った商C_m(x)と余りD_m(x)を求めよ.
(3) x^{2m}x^4-1で割った商E_m(x)と余りF_m(x)を求めよ.
(4) x^{4l}(x^2-1)^2(x^2+1)で割った余りG_l(x)を求めよ.

3.(上智大)
x^{100}x^2+x+1で割った余りは(  )であり,商の中でx^{56}の係数は(  ),x^{55}の係数は(  ),x^{54}の係数は(  )である.

4.(上智大)
x^{1000}x^3+x^2+x+1で割った余りと,商のx^{100}の係数を求めよ.

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