展開式の利用２

次の問題は商を求めなければならないので展開、因数分解を利用します。

１．(関西大)
f(x)はn次の多項式でf(x)=x^n-nx+n-1とする．ただし，n \geqq 2とする．このとき，
(1) (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)を簡単にせよ．
(2) f(x)は(x-1)で割り切れることを示し，その商の多項式g(x)を求めよ．
(3) g(x)は(x-1)で割り切れることを示し，その商の多項式h(x)を求めよ．

２．(東京理科大)
n,~m,~lが自然数のとき
(1) x^nをx^2-1で割った商A_n(x)と余りB_n(x)を求めよ．
(2) x^{2m}を(x^2-1)^2で割った商C_m(x)と余りD_m(x)を求めよ．
(3) x^{2m}をx^4-1で割った商E_m(x)と余りF_m(x)を求めよ．
(4) x^{4l}を(x^2-1)^2(x^2+1)で割った余りG_l(x)を求めよ．

３．(上智大)
x^{100}をx^2+x+1で割った余りは(　　)であり，商の中でx^{56}の係数は(　　)，x^{55}の係数は(　　)，x^{54}の係数は(　　)である．

４．(上智大)
x^{1000}をx^3+x^2+x+1で割った余りと，商のx^{100}の係数を求めよ．

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数学Ⅰ　数と式剰余の問題, 展開式の利用

Posted by 山彦のフドウ