離心率

離心率に関わる問題です。離心率というものを導入すると2次曲線 (放物線, 円, 楕円, 双曲線)を1つの式で統一的に表すことができます。

1.(宇都宮大)
xy平面上の点P(x,y)から定点F(a,b)までの距離PFと,点Pから直線x=cに下ろした垂線の長さPHの比をe=\dfrac{\mbox{PF}}{\mbox{PH}}とするとき,次の問いに答えよ.ただし,a \ne cとする.
(1) e=1のとき,点Pの軌跡を表す方程式を求め,その概形を描け.
(2) e=\dfrac{1}{2}のとき,点Pの軌跡が楕円になることを示し,その楕円の長軸と短軸の長さの比を求めよ.
(3) e=2のとき,点Pの軌跡が双曲線になることを示し,その頂点の座標および漸近線の傾きを求めよ.

2.(慶応大)
座標平面上に定点A(0,a)~(a>0)と動点Pがある.Pよりx軸に下ろした垂線の足をHとする.定数k>0に対して,\mbox{PA}=k\mbox{PH}が成立するならば,点Pはある2次曲線上にある.この2次曲線をkの値によって分類すると,(  )のときは放物線で,(  )のときはだ円で,(  )のときは双曲線である.だ円の場合,その中心の座標は(  )で,焦点の座標は(  )と(  )である.

3.(大分大)
(1,0)y軸との距離の比が1:r~(r>0)である点P(x,y)の軌跡の方程式,および,軌跡とx軸の交点を求め,その軌跡の表す図形の概形をかけ.

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