円錐曲線

2017年6月10日

2次曲線は軸が等しい2つの直円錐面の頂点をくっつけた立体を切断したときに現れる曲線なので円錐曲線とも呼ばれます。それを題材とした問題をいくつか。

1.(千葉大)
3次元空間のyz平面上において,y^2+z^2=1で表される円をCとする.定点A(1,0,a)と円C上の動点Pを結ぶ直線が,xy平面と交わる点をQとする.
(1) 点Qの軌跡を表す方程式を求めよ.
(2) (1)で求めた曲線が,円,楕円,放物線,双曲線になるための|a|の条件を求めよ.

2.(東京医科歯科大)
座標空間内に定点A, Bがある.不等式\overrightarrow{\mbox{AB}}\cdot\overrightarrow{\mbox{AP}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}|\overrightarrow{\mbox{AB}}||\overrightarrow{\mbox{AP}}|を満たすようなxy平面上の点Pの全体からなる図形をDとする.このとき
(1) A(0,0,1), B(0,0,0)のとき,図形Dxy平面上に図示せよ.
(2) A(0,0,\sqrt{3}), B(1,0,0)のとき,図形Dxy平面上に図示し,その面積を求めよ.
(3) A(0,0,2\sqrt{3}), B(\sqrt{2},\sqrt{2},0)のとき,図形Dの面積を求めよ.

3.(東京理科大)
空間において点Aと球T:x^2+y^2+(z-2)^2=2が与えられている.点Aから球Tに接線を引き,それがxy平面と交わる点をPとする.点Aが(2,0,4),~(2,0,2+\sqrt{2}),~(2,0,2)である各場合について点Pの軌跡を求め,それぞれの概形を図示せよ.

4.(大分大)
a>0とする.点A(1,0,a)を通り,球面S:x^2+y^2+z^2=1に接する直線と,xy平面との交点P全体はどのような曲線をえがくか.aの値の範囲によって分類せよ.

5.(大分大)
aを0でない実数とする.中心のxyz座標が(0,0,1)で半径が1の球Gと点(0,-2,a)に関して,点Pを通る直線が球Gと共有点をもつように動くとき,この直線とxy平面の交点全体からなるxy平面上の領域の境界線を表す方程式を求めよ.また,その方程式が表す図形を0でない実数aに関して分類せよ.

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