2次不等式４

2017年6月18日

３の続きです。今度は定義域が実数全体でない場合です。最小値 (最大値)を考えて解きますが判別式を利用して解くのも本質的には最小値を考えているということなので、変わりはありません。

１．(東京工科大)
$f(x)=x^2-2ax-a+6$ について，
(1) すべての実数に対して $f(x)>0$ となる $a$ の範囲を求めよ．
(2) $-1 \leqq x \leqq 1$ で常に $f(x) \geqq 0$ となる $a$ の範囲を求めよ．

２．(関西大)
$0 \leqq x \leqq 2$ を満たすすべての $x$ に対して，不等式 $x^2-ax-a \leqq x$ が成り立つような実数の定数 $a$ のとる値の範囲を求めよ．

３．(京都大)
$a$ を2以上の実数とし， $f(x)=(x+a)(x+2)$ とする．このとき $f(f(x))>0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つような $a$ の範囲を求めよ．

次は発展問題です。解き方は同じです。

４．(兵庫県立大)
実数 $a,~b$ を定数とし，関数 $f(x)=(1-2a)x^2+2(a+b-1)x+1-b$ を考える．
(1) すべての実数 $x$ に対して $f(x) \geqq 0$ が成り立つような実数の組 $(a,b)$ の範囲を求め，座標平面上に図示せよ．
(2) $0 \leqq x \leqq 1$ を満たす，すべての実数 $x$ に対して $f(x) \geqq 0$ が成り立つような実数の組 $(a,b)$ の範囲を求め，座標平面上に図示せよ．

５．(東北大)
実数 $a$ に対し，不等式 $y \leqq 2ax-a^2+2a+2$ の表す座標平面上の領域を $D(a)$ とおく．
(1) $-1 \leqq a \leqq 2$ を満たすすべての $a$ に対し $D(a)$ の点となるような点 $(p,q)$ の範囲を図示せよ．
(2) $-1 \leqq a \leqq 2$ を満たすいずれかの $a$ に対し $D(a)$ の点となるような点 $(p,q)$ の範囲を図示せよ．