4次関数1

2017年7月4日

4次関数は旧課程では範囲外でしたが、新課程からは範囲となっています。考え方は3次関数のときと基本的には同じですが、少し複雑になります。まずは4次関数の極値の問題から。

1.(大分大)
aを定数とする.関数f(x)=-\dfrac{3}{2}x^4+2(a+3)x^3-9ax^2+a^2が極小値をもつとき,その極小値を求めよ.

解答

2.(小樽商科大)
f(x)=x^4+4x^3-6ax^2が極大値をもつ条件を求めよ.

解答

3.(大阪市立大)
a,~bは定数とする.関数f(x)=x^4+ax^3+bx^2について,
(1) f(x)x=0で極値をとるための必要十分条件は,b \ne 0またはa=b=0であることを示せ.
(2) f(x)x=0で極値をとり,さらに0以外のxで極値をとるための必要十分条件をa,~bを用いて表せ.

解答

4.(横浜国立大)
実数a,~bに対し,関数f(x)=x^4+2ax^3+(a^2+1)x^2-a^3+a+bがただ1つの極値をもち,その極値が0以上になるとする.
(1) a,~bの満たす条件を求めよ.
(2) a,~bが(1)の条件を満たすとき,a-2bの最大値を求めよ.

解答

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