4次関数2

2018年8月15日

4次関数の方程式への応用の問題です。

1.(東京大)
a,~b,~cを整数,p,~q,~rp<0<q<1<r<2をみたす実数とする.関数f(x)=x^4+ax^3+bx+cが次の条件(ⅰ), (ⅱ)を満たすようにa,~b,~c,~p,~q,~rを定めよ.
(ⅰ) f(x)=0は4個の相異なる実数解をもつ.
(ⅱ) 関数f(x)x=p,~q,~rにおいて極値をとる.

次は接線の本数の問題です。3次関数の場合は「接線の本数=接点の個数」という関係が成り立ちましたが、3回以上曲がると2重接線 (1つの接線に対し接点が2個存在する接線)というものが存在し、必ずしも上の等式は成立しなくなります。色々と落とし穴がありますが、4次関数のグラフの性質をより深く知るためにも1度はやっておきたい問題です。

2.(同志社大)
関数f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cxは,f(4)=0を満たし,x=3で極小値-27をとる.このとき,a=(~~~~~),~b=(~~~~~),~c=(~~~~~)である.pを実数とするとき,点(3,p)から曲線y=f(x)に引くことができる接線の本数nについて考える.n=1であるようなpの値は(  )であり,n=3であるようなpの値は(  )である.

3.(京都大)
曲線y=x^4-6x^2に,点(a,b)を通る4つの接線が引けるのは,(a,b)がどのような範囲にあるときか,図示せよ.

解答

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