多変数関数の最大最小

2017年7月10日

多変数関数の最大最小の問題です。

１．(大阪大)
(1) $c$ を正の定数とする．正の実数 $x,~y$ が $x+y=c$ を満たすとき，
$\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)$
の最小値を $c$ を用いて表せ．
(2) 正の実数 $x,~y,~z$ が $x+y+z=1$ を満たすとき，
$\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\left(1+\dfrac{1}{y}\right)\left(1-\dfrac{4}{3z}\right)$
の最大値を求めよ．

２．(お茶の水女子大)
$a$ を正の実数とする．
(1) 平面上の点 $(x,y)$ は $x+y=a,x>0,~y>0$ の範囲を動くものとする．このとき， $x\log x+y\log y$ の最小値を求めよ．
(2) 空間上の点 $(x,y,z)$ は $x+y+z=a,~x>0,~y>0,~z>0$ の範囲を動くものとする．このとき， $x\log x+y\log y+z\log z$ の最小値を求めよ．