多変数関数の最大最小4

2019年9月13日

3の続きです。3では条件式が等式なので1文字消去して1変数関数にできました。ここでは、条件式が不等式で与えられたり幅をもつ場合、すなわち、等式で与えられていない場合にどうするかという問題です。たまたま1文字が消えて1変数になる場合もありますが (京大で出題されています)、基本的には2変数関数として考えます。置き換えてからは2のように考えればできます。

1.(横浜国立大)
実数a,~b,~x,~yが条件\left\{\begin{array}{l} a^2+b^2=1\\ x^2+xy+y^2=3\sqrt{2}a^2+3ab-3\sqrt{2}b^2+\dfrac{9}{2} \end{array}\right.を満たしながら動くとき,
(1) x^2+xy+y^2のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) x^3-x^2y-xy^2+y^3のとりうる値の範囲を求めよ.

解答

2.(東京大)
3辺の長さがabcの直方体を,長さがbの1辺を回転軸として90°回転させるとき,直方体が通過する点全体が作る立体をVとする.
(1) Vの体積をa,~b,~cを用いて表せ.
(2) a+b+c=1のとき,Vの体積のとりうる値の範囲を求めよ.

解答

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