多変数関数の最大最小４

2017年7月10日2019年9月13日

３の続きです。３では条件式が等式なので1文字消去して1変数関数にできました。ここでは、条件式が不等式で与えられたり幅をもつ場合、すなわち、等式で与えられていない場合にどうするかという問題です。たまたま1文字が消えて1変数になる場合もありますが (京大で出題されています)、基本的には2変数関数として考えます。置き換えてからは２のように考えればできます。

１．(横浜国立大)
実数 $a,~b,~x,~y$ が条件 $\left\{\begin{array}{l} a^2+b^2=1\\ x^2+xy+y^2=3\sqrt{2}a^2+3ab-3\sqrt{2}b^2+\dfrac{9}{2} \end{array}\right.$ を満たしながら動くとき，
(1) $x^2+xy+y^2$ のとりうる値の範囲を求めよ．
(2) $x^3-x^2y-xy^2+y^3$ のとりうる値の範囲を求めよ．

→解答

２．(東京大)
3辺の長さが $a$ と $b$ と $c$ の直方体を，長さが $b$ の1辺を回転軸として90°回転させるとき，直方体が通過する点全体が作る立体を $V$ とする．
(1) $V$ の体積を $a,~b,~c$ を用いて表せ．
(2) $a+b+c=1$ のとき， $V$ の体積のとりうる値の範囲を求めよ．