n乗根4

2019年4月8日

次もよくある問題です。複素数を複素数平面上で考えるときは、幾何的にどういうことかも考えるとよく分かることもあります。

1.(大阪市立大)
2つの複素数\alpha=\cos\theta_1+i\sin\theta_1,~\beta=\cos\theta_2+i\sin\theta_2の偏角\theta_1,~\theta_2は,0^{\circ}<\theta_1<180^{\circ}<\theta_2<360^{\circ}を満たすものとする.ただし,iは虚数単位を表す.
(1) \alpha+1を極形式で表せ.
(2) \dfrac{1}{\alpha+1}の実部の値を求めよ.
(3) \dfrac{\alpha+1}{\beta+1}の実部が0に等しいことは,\beta=-\alphaであるための必要十分条件であることを示せ.

解答

2.(芝浦工業大)
複素数\alpha\alpha=\cos\dfrac{2\pi}{5}+i\sin\dfrac{2\pi}{5}とする.ただし,iは虚数単位とする.
(1) 1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4の値を求めよ.
(2) 複素数zについて
(z-\alpha)(z-\alpha^2)(z-\alpha^3)(z-\alpha^4)=1+z+z^2+z^3+z^4
が成り立つことを示せ.
(3) \sin\dfrac{\pi}{5}\sin\dfrac{2\pi}{5}\sin\dfrac{3\pi}{5}\sin\dfrac{4\pi}{5}の値を求めよ.

解答

次もほぼ同じ問題です。

3.(東京医科歯科大)
以下の問いに答えよ.ただし,\piは円周率を表す.
(1) 複素数z1+z+z^2+z^3+z^4=0をみたすとき(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)の値を求めよ.
(2) 絶対値1,偏角2\theta~(0^{\circ} \leqq \theta < 180^{\circ})の複素数\omegaに対してr=|1-\omega|とおくとき,\sin\thetarを用いて表せ.
(3) \sin\dfrac{\pi}{5}\sin\dfrac{2\pi}{5}\sin\dfrac{3\pi}{5}\sin\dfrac{4\pi}{5}の値を求めよ.

解答

4.(九州大)
複素数平面上に複素数z=\cos\theta+i\sin\theta~(0^{\circ}<\theta<180^{\circ})をとり,\alpha=z+1,~\beta=z-1とおく.
(1) |\beta|=2\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)を示せ.
(2) \arg\beta=\dfrac{\theta}{2}+90^{\circ}を示せ.ただし,0^{\circ} \leqq \ arg\beta<360^{\circ}とする.
(3) \theta=60^{\circ}とする.9つの複素数\alpha^m\beta^n~(m,~n=1,~2,~3)の虚部の最小値を求め,その最小値を与える(m,n)をすべて決定せよ.

解答

5.(神戸大)
0<\theta<\piを満たす\thetaに対して,z=1-(\cos 2\theta+i\sin 2\theta)とおく.
(1) 複素数zz=2\sin\theta\left\{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)\right\}と表されることを示せ.
(2) z^{2001}が正の実数になるような\thetaの値は全部で何個あるか.

解答

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