n乗根４

2017年7月14日2019年4月8日

次もよくある問題です。複素数を複素数平面上で考えるときは、幾何的にどういうことかも考えるとよく分かることもあります。

１．(大阪市立大)
2つの複素数 $\alpha=\cos\theta_1+i\sin\theta_1,~\beta=\cos\theta_2+i\sin\theta_2$ の偏角 $\theta_1,~\theta_2$ は， $0^{\circ}<\theta_1<180^{\circ}<\theta_2<360^{\circ}$ を満たすものとする．ただし， $i$ は虚数単位を表す．
(1) $\alpha+1$ を極形式で表せ．
(2) $\dfrac{1}{\alpha+1}$ の実部の値を求めよ．
(3) $\dfrac{\alpha+1}{\beta+1}$ の実部が0に等しいことは， $\beta=-\alpha$ であるための必要十分条件であることを示せ．

→解答

２．(芝浦工業大)
複素数 $\alpha$ を $\alpha=\cos\dfrac{2\pi}{5}+i\sin\dfrac{2\pi}{5}$ とする．ただし， $i$ は虚数単位とする．
(1) $1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4$ の値を求めよ．
(2) 複素数 $z$ について
$(z-\alpha)(z-\alpha^2)(z-\alpha^3)(z-\alpha^4)=1+z+z^2+z^3+z^4$
が成り立つことを示せ．
(3) $\sin\dfrac{\pi}{5}\sin\dfrac{2\pi}{5}\sin\dfrac{3\pi}{5}\sin\dfrac{4\pi}{5}$ の値を求めよ．

→解答

次もほぼ同じ問題です。

３．(東京医科歯科大)
以下の問いに答えよ．ただし， $\pi$ は円周率を表す．
(1) 複素数 $z$ が $1+z+z^2+z^3+z^4=0$ をみたすとき $(1-z)(1-z^2)(1-z^3)(1-z^4)$ の値を求めよ．
(2) 絶対値1，偏角 $2\theta~(0^{\circ} \leqq \theta < 180^{\circ})$ の複素数 $\omega$ に対して $r=|1-\omega|$ とおくとき， $\sin\theta$ を $r$ を用いて表せ．
(3) $\sin\dfrac{\pi}{5}\sin\dfrac{2\pi}{5}\sin\dfrac{3\pi}{5}\sin\dfrac{4\pi}{5}$ の値を求めよ．

→解答

４．(九州大)
複素数平面上に複素数 $z=\cos\theta+i\sin\theta~(0^{\circ}<\theta<180^{\circ})$ をとり， $\alpha=z+1,~\beta=z-1$ とおく．
(1) $|\beta|=2\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$ を示せ．
(2) $\arg\beta=\dfrac{\theta}{2}+90^{\circ}$ を示せ．ただし， $0^{\circ} \leqq \ arg\beta<360^{\circ}$ とする．
(3) $\theta=60^{\circ}$ とする．9つの複素数 $\alpha^m\beta^n~(m,~n=1,~2,~3)$ の虚部の最小値を求め，その最小値を与える $(m,n)$ をすべて決定せよ．

→解答

５．(神戸大)
$0<\theta<\pi$ を満たす $\theta$ に対して， $z=1-(\cos 2\theta+i\sin 2\theta)$ とおく．
(1) 複素数 $z$ が $z=2\sin\theta\left\{\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{2}\right)\right\}$ と表されることを示せ．
(2) $z^{2001}$ が正の実数になるような $\theta$ の値は全部で何個あるか．