極座標１

2017年7月22日

極座標についてです。まずは極座標とは何かということをつかんで欲しいと思います。現課程では複素数平面を学ぶのでなじみやすいと思います。要は極形式を複素数平面ではなく実数の平面で考えたものです。

１．(徳島大)
直交座標の原点Oを極とし， $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta)$ を考える．この極座標で表された3点をA $\left(1,\dfrac{\pi}{3}\right)$ , B $\left(2,\dfrac{2\pi}{3}\right)$ , C $\left(3,\dfrac{4\pi}{3}\right)$ とする．
(1) 点Aの直交座標を求めよ．
(2) $\angle\mbox{OAB}$ を求めよ．
(3) $\bigtriangleup$ OBCの面積を求めよ．
(4) $\bigtriangleup$ ABCの外接円の中心と半径を求めよ．ただし，中心は直交座標で表せ．

次は極方程式についての問題をいくつか。

２．(金沢工業大)
座標平面において，極方程式 $r=2\cos\theta$ で表される曲線を $C$ とし， $C$ 上において極座標が $\left(\sqrt{2},\dfrac{\pi}{4}\right),~(2,0)$ である点をそれぞれA, Bとする．また，A, Bを通る直線を $l$ とし，Aを中心とし，線分ABを半径にもつ円を $D$ とする．
(1) 曲線 $C$ は直交座標において点(　　)を中心とし，半径が(　　)の円を表す．
(2) 直線 $l$ の極方程式は $r\cos\left(\theta-(~~~~~)\right)=(~~~~~)$ である．
(3) 円 $D$ の極方程式は $r=(~~~~~)\cos\left(\theta-(~~~~~)\right)$ である．

３．(山口大)
平面上にある点の極座標を，原点Oからの距離 $r~(r \geqq 0)$ と偏角 $\theta$ を用いて $(r,\theta)$ と表す．
(1) 平面上の点Aの極座標を $\left(a,\dfrac{\pi}{3}\right)$ とする．点Aを通り直線OAに垂直な直線 $l$ の極方程式を表せ．ただし， $a>0$ とする．
(2) 極方程式 $r=2\cos\theta$ で表される平面上の曲線を $C$ とする．曲線 $C$ の概形を描け．ただし， $-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ とする．
(3) 直線 $l$ は曲線 $C$ に点Pで接している．このとき，点Aの極座標を決める定数 $a$ の値および接点Pの極座標を求めよ．ただし，点Pの偏角 $\theta$ は， $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ とする．