極座標1

極座標についてです。まずは極座標とは何かということをつかんで欲しいと思います。現課程では複素数平面を学ぶのでなじみやすいと思います。要は極形式を複素数平面ではなく実数の平面で考えたものです。

1.(徳島大)
直交座標の原点Oを極とし,x軸の正の部分を始線とする極座標(r,\theta)を考える.この極座標で表された3点をA\left(1,\dfrac{\pi}{3}\right), B\left(2,\dfrac{2\pi}{3}\right), C\left(3,\dfrac{4\pi}{3}\right)とする.
(1) 点Aの直交座標を求めよ.
(2) \angle\mbox{OAB}を求めよ.
(3) \bigtriangleupOBCの面積を求めよ.
(4) \bigtriangleupABCの外接円の中心と半径を求めよ.ただし,中心は直交座標で表せ.

次は極方程式についての問題をいくつか。

2.(金沢工業大)
座標平面において,極方程式r=2\cos\thetaで表される曲線をCとし,C上において極座標が\left(\sqrt{2},\dfrac{\pi}{4}\right),~(2,0)である点をそれぞれA, Bとする.また,A, Bを通る直線をlとし,Aを中心とし,線分ABを半径にもつ円をDとする.
(1) 曲線Cは直交座標において点(  )を中心とし,半径が(  )の円を表す.
(2) 直線lの極方程式はr\cos\left(\theta-(~~~~~)\right)=(~~~~~)である.
(3) 円Dの極方程式はr=(~~~~~)\cos\left(\theta-(~~~~~)\right)である.

3.(山口大)
平面上にある点の極座標を,原点Oからの距離r~(r \geqq 0)と偏角\thetaを用いて(r,\theta)と表す.
(1) 平面上の点Aの極座標を\left(a,\dfrac{\pi}{3}\right)とする.点Aを通り直線OAに垂直な直線lの極方程式を表せ.ただし,a>0とする.
(2) 極方程式r=2\cos\thetaで表される平面上の曲線をCとする.曲線Cの概形を描け.ただし,-\dfrac{\pi}{2}<\theta<\dfrac{\pi}{2}とする.
(3) 直線lは曲線Cに点Pで接している.このとき,点Aの極座標を決める定数aの値および接点Pの極座標を求めよ.ただし,点Pの偏角\thetaは,0<\theta<\dfrac{\pi}{2}とする.

4.(筑波大)
aを正の実数とする.曲線C_aを極方程式r=2a\cos(\theta-a)によって定める.
(1) C_aは円になることを示し,その中心と半径を求めよ.
(2) C_ay=-xに接するようなaをすべて求めよ.

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