極座標２

2017年7月22日

極座標・極方程式の続きです。2次曲線を極方程式で表すとどうなるかという問題です。離心率を利用して表します。

１．(関西大)
原点を極とし， $x$ 軸の正の部分を始線とする点Pの極座標を $(r,\theta)$ とする．極方程式 $r=\dfrac{1}{1+p\cos\theta}\cdots$ ①で表される曲線の図形を考える．
(1) $p=1$ のとき，①を $x$ と $y$ で表せ．
(2) 極方程式 $r=\dfrac{1}{1+\sin\theta}$ で表される曲線を $x,~y$ で表せ．
(3) 2つの極方程式 $r=\dfrac{1}{1+\cos\theta},~r=\dfrac{1}{1+\sin\theta}$ で表される曲線によって囲まれた図形の面積を求めよ．
(4) $p=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のとき，①を $x$ と $y$ で表せ．
(5) $p=\sqrt{5}$ のとき，①で表される図形の漸近線を求めよ．

２．(愛知教育大)
$a$ を正の定数とし，座標平面上の直線 $x=a$ を $l$ とする．平面上の各点Pに対して，Pから $l$ に下ろした垂線と $l$ との交点をP’で表すことにする．このとき，正の定数 $c$ に対して条件 $\mbox{PO}:\mbox{PP'}=c:1$ を満たす点Pの軌跡を調べよう．ただし，Oは原点である．
(1) Pの軌跡の極方程式を求めよ．
(2) $c=1$ として，上の極方程式から直交座標 $x,~y$ に関する方程式を導き，それに基づいてPの軌跡がどのような曲線であるかを判定せよ．
(3) $c=\dfrac{1}{\sqrt{2}},~c=\sqrt{2}$ の各場合についても，同様の方法で，Pの軌跡がどのような曲線であるかを判定せよ．

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