極座標2

極座標・極方程式の続きです。2次曲線を極方程式で表すとどうなるかという問題です。離心率を利用して表します。

1.(関西大)
原点を極とし,x軸の正の部分を始線とする点Pの極座標を(r,\theta)とする.極方程式r=\dfrac{1}{1+p\cos\theta}\cdots①で表される曲線の図形を考える.
(1) p=1のとき,①をxyで表せ.
(2) 極方程式r=\dfrac{1}{1+\sin\theta}で表される曲線をx,~yで表せ.
(3) 2つの極方程式r=\dfrac{1}{1+\cos\theta},~r=\dfrac{1}{1+\sin\theta}で表される曲線によって囲まれた図形の面積を求めよ.
(4) p=\dfrac{1}{\sqrt{2}}のとき,①をxyで表せ.
(5) p=\sqrt{5}のとき,①で表される図形の漸近線を求めよ.

2.(愛知教育大)
aを正の定数とし,座標平面上の直線x=alとする.平面上の各点Pに対して,Pからlに下ろした垂線とlとの交点をP’で表すことにする.このとき,正の定数cに対して条件\mbox{PO}:\mbox{PP'}=c:1を満たす点Pの軌跡を調べよう.ただし,Oは原点である.
(1) Pの軌跡の極方程式を求めよ.
(2) c=1として,上の極方程式から直交座標x,~yに関する方程式を導き,それに基づいてPの軌跡がどのような曲線であるかを判定せよ.
(3) c=\dfrac{1}{\sqrt{2}},~c=\sqrt{2}の各場合についても,同様の方法で,Pの軌跡がどのような曲線であるかを判定せよ.

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