極座標３

2017年7月22日

次は極座標を利用して2次曲線のいろいろな性質を調べる問題です。当たり前のことですが、座標、ベクトル、三角比、極座標等は図形の性質を調べるための道具に過ぎません。しっかり理解をして使いこなして下さい。まずは放物線の一定値問題から。

１．(名古屋工業大)
放物線 $y^2=4px~(p>0)$ 上に4点があり，それらを $y$ 座標の大きい順にA, B, C, Dとする．線分ACとBDは放物線の焦点Fで垂直に交わっている．ベクトル $\overrightarrow{\mbox{FA}}$ が $x$ 軸の正の方向となす角を $\theta$ とする．
(1) 線分AFの長さを $p$ と $\theta$ を用いて表せ．
(2) $\dfrac{1}{\mbox{AF}\cdot\mbox{CF}}+\dfrac{1}{\mbox{BF}\cdot\mbox{DF}}$ は $\theta$ によらず一定であることを示し，その値を $p$ を用いて表せ．

次は楕円の一定値問題です。

２．(愛知教育大)
だ円 $\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$ の焦点のうち $x$ 座標が正であるものをFとし，Fを通る直線とだ円の交点をA, Bとする．ベクトル $\overrightarrow{\mbox{FA}}$ が $x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とするとき，次のことを示せ．
(1) FA= $\dfrac{16}{5+3\cos\theta}$
(2) $\dfrac{1}{\mbox{FA}}+\dfrac{1}{\mbox{FB}}=\dfrac{5}{8}$

次は２を一般化したものです。

３．(東京工業大)
だ円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>b>0)$ について，
(1) 焦点F $(ae,0)~(e>0)$ を極， $x$ 軸の正の方向を始線とする極方程式を求めよ．
(2) 焦点Fを通る弦の両端をP, Qとすれば， $\dfrac{1}{\mbox{FP}}+\dfrac{1}{\mbox{FQ}}$ は一定であることを証明せよ．

次に最大最小問題はの応用です。

４．(静岡大)
楕円 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 上の2点P, Qが $\angle\mbox{POQ}=90^{\circ}$ を満たしながら動くとき，次の問いに答えよ．ただし，Oは原点である．
(1) $\dfrac{1}{\mbox{OP}^2}+\dfrac{1}{\mbox{OQ}^2}$ の値は一定であることを示せ．
(2) Oから線分PQに下ろした垂線の足をRとする．線分ORの長さは一定であることを示せ．

５．(信州大)
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>b>0)$ 上に $\mbox{OP}\bot\mbox{OQ}$ を満たしながら動く2点P, Qがある．ただし，Oは原点である．
(1) $\dfrac{1}{\mbox{OP}^2}+\dfrac{1}{\mbox{OQ}^2}$ は一定であることを示せ．
(2) $\mbox{OP}\cdot\mbox{OQ}$ の最小値を求めよ．

６．(広島大)
だ円 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>b>0)$ 上の点P, Qが図のような位置関係で $y \geqq 0$ の範囲にあって，原点O $(0,0)$ に対して $\angle\mbox{POQ}=\dfrac{\pi}{2}$ をみたしているとする．点A $(a,0)$ に対して $\angle\mbox{AOP}=\theta,~\mbox{OP}=r$ とおくと，Pの座標は $(r\cos\theta,r\sin\theta)$ とかくことができる．
(1) $\mbox{OP}^2$ および $\mbox{OQ}^2$ を $a,~b$ および $\theta$ を用いて表せ．
(2) $\theta$ が $0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の範囲を動くとき，三角形POQの面積の最大値および最小値を求めよ．

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