極座標3

次は極座標を利用して2次曲線のいろいろな性質を調べる問題です。当たり前のことですが、座標、ベクトル、三角比、極座標等は図形の性質を調べるための道具に過ぎません。しっかり理解をして使いこなして下さい。まずは放物線の一定値問題から。

1.(名古屋工業大)
放物線y^2=4px~(p>0)上に4点があり,それらをy座標の大きい順にA, B, C, Dとする.線分ACとBDは放物線の焦点Fで垂直に交わっている.ベクトル\overrightarrow{\mbox{FA}}x軸の正の方向となす角を\thetaとする.
(1) 線分AFの長さをp\thetaを用いて表せ.
(2) \dfrac{1}{\mbox{AF}\cdot\mbox{CF}}+\dfrac{1}{\mbox{BF}\cdot\mbox{DF}}\thetaによらず一定であることを示し,その値をpを用いて表せ.

次は楕円の一定値問題です。

2.(愛知教育大)
だ円\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1の焦点のうちx座標が正であるものをFとし,Fを通る直線とだ円の交点をA, Bとする.ベクトル\overrightarrow{\mbox{FA}}x軸の正の向きとなす角を\thetaとするとき,次のことを示せ.
(1) FA=\dfrac{16}{5+3\cos\theta}
(2) \dfrac{1}{\mbox{FA}}+\dfrac{1}{\mbox{FB}}=\dfrac{5}{8}

次は2を一般化したものです。

3.(東京工業大)
だ円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>b>0)について,
(1) 焦点F(ae,0)~(e>0)を極,x軸の正の方向を始線とする極方程式を求めよ.
(2) 焦点Fを通る弦の両端をP, Qとすれば,\dfrac{1}{\mbox{FP}}+\dfrac{1}{\mbox{FQ}}は一定であることを証明せよ.

次に最大最小問題はの応用です。

4.(静岡大)
楕円\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1上の2点P, Qが\angle\mbox{POQ}=90^{\circ}を満たしながら動くとき,次の問いに答えよ.ただし,Oは原点である.
(1) \dfrac{1}{\mbox{OP}^2}+\dfrac{1}{\mbox{OQ}^2}の値は一定であることを示せ.
(2) Oから線分PQに下ろした垂線の足をRとする.線分ORの長さは一定であることを示せ.

5.(信州大)
楕円\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>b>0)上に\mbox{OP}\bot\mbox{OQ}を満たしながら動く2点P, Qがある.ただし,Oは原点である.
(1) \dfrac{1}{\mbox{OP}^2}+\dfrac{1}{\mbox{OQ}^2}は一定であることを示せ.
(2) \mbox{OP}\cdot\mbox{OQ}の最小値を求めよ.

6.(広島大)
だ円C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1~(a>b>0)上の点P, Qが図のような位置関係でy \geqq 0の範囲にあって,原点O(0,0)に対して\angle\mbox{POQ}=\dfrac{\pi}{2}をみたしているとする.点A(a,0)に対して\angle\mbox{AOP}=\theta,~\mbox{OP}=rとおくと,Pの座標は(r\cos\theta,r\sin\theta)とかくことができる.
(1) \mbox{OP}^2および\mbox{OQ}^2a,~bおよび\thetaを用いて表せ.
(2) \theta0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}の範囲を動くとき,三角形POQの面積の最大値および最小値を求めよ.

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