極座標４

2017年7月22日

次はいろいろな曲線の性質を極座標を利用して調べます。まずはカージオイドから。

１．(神戸大)
$a>0$ を定数として，極方程式 $r=a(1+\cos\theta)$ により表される曲線 $C_a$ を考える.
(1) 極座標が $\left(\dfrac{a}{2},0\right)$ の点を中心とし半径が $\dfrac{a}{2}$ である円 $S$ を，極方程式で表せ．
(2) 点Oと曲線 $C_a$ 上の点 $\mbox{P}\ne\mbox{O}$ とを結ぶ直線が円 $S$ と交わる点をQとするとき，線分PQの長さは一定であることを示せ．
(3) 点Pが曲線 $C_a$ 上を動くとき，極座標が $(2a,0)$ の点とPとの距離の最大値を求めよ．

次はレムニスケートです。

２．(新潟大)
座標平面上の2定点A $(\sqrt{2},0)$ , B $(-\sqrt{2},0)$ に対し，条件 $\mbox{PA}\cdot\mbox{PB}=2$ を満たして動く点P $(x,y)$ を考える．
$x=r\cos\theta,~y=r\sin\theta~\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{4},~r>0\right)$ とするとき，
(1) $r^2=4\cos 2\theta$ が成り立つことを示せ．
(2) 三角形PABの面積の最大値を求めよ．また，このときの点Pの座標を求めよ．

３．(鹿児島大)
$xy$ 座標平面に2点A $(a,0)$ , B $(-a,0)~(a>0)$ が与えられているとき，
(1) この座標平面において， $\mbox{PA}\cdot\mbox{PB}=a^2$ を満たす点Pの軌跡の極方程式 $r=f(\theta)$ を求めよ．
(2) (1)で求めた関数 $r=f(\theta)$ の増減，凹凸を調べることにより，横軸を $\theta$ ，縦軸を $r$ とする座標平面に，式 $r=f(\theta)$ が表す曲線の概形をかけ．ただし， $-\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \dfrac{3}{2}\pi$ とする．
(3) (1)で求めた軌跡は $xy$ 平面において，不等式 $x^2+y^2 \leqq 2a^2,~|y| \leqq |x|$ の表す領域に含まれることを示せ．また，この領域の中に，(1)で求めた軌跡の概形をかけ．

４．(九州工業大)
$xy$ 座標において，双曲線 $C:x^2-y^2=1$ 上の点P $(a,b)$ における $C$ の接線に対して，原点Oから下ろした垂線の足をQとする．
(1) 点Qの $x,~y$ 座標を $a,~b$ を用いて表せ．
(2) 原点Oを極，半直線O $x$ を始線とする極座標において，双曲線 $C$ の極方程式を求めよ．
(3) 点Pが双曲線 $C$ 上を動くとき，点Qが描く軌跡の極方程式を求めよ．
(4) 点A, Bの $xy$ 座標をそれぞれ $\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},0\right),~\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},0\right)$ とする．点Aから点Qまでの距離AQと，点Bから点Qまでの距離BQとの積 $\mbox{AQ}\cdot\mbox{BQ}$ は，点Pのとり方によらず一定であることを示せ．

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