極座標4

次はいろいろな曲線の性質を極座標を利用して調べます。まずはカージオイドから。

1.(神戸大)
a>0を定数として,極方程式r=a(1+\cos\theta)により表される曲線C_aを考える.
(1) 極座標が\left(\dfrac{a}{2},0\right)の点を中心とし半径が\dfrac{a}{2}である円Sを,極方程式で表せ.
(2) 点Oと曲線C_a上の点\mbox{P}\ne\mbox{O}とを結ぶ直線が円Sと交わる点をQとするとき,線分PQの長さは一定であることを示せ.
(3) 点Pが曲線C_a上を動くとき,極座標が(2a,0)の点とPとの距離の最大値を求めよ.

次はレムニスケートです。

2.(新潟大)
座標平面上の2定点A(\sqrt{2},0), B(-\sqrt{2},0)に対し,条件\mbox{PA}\cdot\mbox{PB}=2を満たして動く点P(x,y)を考える.
x=r\cos\theta,~y=r\sin\theta~\left(0<\theta<\dfrac{\pi}{4},~r>0\right)とするとき,
(1) r^2=4\cos 2\thetaが成り立つことを示せ.
(2) 三角形PABの面積の最大値を求めよ.また,このときの点Pの座標を求めよ.

3.(鹿児島大)
xy座標平面に2点A(a,0), B(-a,0)~(a>0)が与えられているとき,
(1) この座標平面において,\mbox{PA}\cdot\mbox{PB}=a^2を満たす点Pの軌跡の極方程式r=f(\theta)を求めよ.
(2) (1)で求めた関数r=f(\theta)の増減,凹凸を調べることにより,横軸を\theta,縦軸をrとする座標平面に,式r=f(\theta)が表す曲線の概形をかけ.ただし,-\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \dfrac{3}{2}\piとする.
(3) (1)で求めた軌跡はxy平面において,不等式x^2+y^2 \leqq 2a^2,~|y| \leqq |x|の表す領域に含まれることを示せ.また,この領域の中に,(1)で求めた軌跡の概形をかけ.

4.(九州工業大)
xy座標において,双曲線C:x^2-y^2=1上の点P(a,b)におけるCの接線に対して,原点Oから下ろした垂線の足をQとする.
(1) 点Qのx,~y座標をa,~bを用いて表せ.
(2) 原点Oを極,半直線Oxを始線とする極座標において,双曲線Cの極方程式を求めよ.
(3) 点Pが双曲線C上を動くとき,点Qが描く軌跡の極方程式を求めよ.
(4) 点A, Bのxy座標をそれぞれ\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},0\right),~\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},0\right)とする.点Aから点Qまでの距離AQと,点Bから点Qまでの距離BQとの積\mbox{AQ}\cdot\mbox{BQ}は,点Pのとり方によらず一定であることを示せ.

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