積分計算 (発展)1

2017年12月21日

積分計算の応用問題をいくつかやってみましょう。基本が定着しているかの確認用としても利用してください。

1.((1) 京都大 (2) 東京大)
(1) n<{\displaystyle\int_{10}^{100}}\log_{10}xdxを満たす最大の自然数nを求めよ.ただし,0.434<\log_{10}e<0.435 (eは自然対数の底)である.
(2) {\displaystyle\int_{0}^{\pi}}e^x\sin^2xdx>8であることを示せ.ただし,\pi=3.14\cdotsは円周率,e=2.71\cdotsは自然対数の底である.

2.((1), (2) 信州大)
(1) {\displaystyle\int_{}^{}}e^x\sin x\cos x dxを求めよ.
(2) {\displaystyle\int_{0}^{\pi}}e^{-x}x\sin xdxを求めよ.

3.((1), (2), (3), (6), (7) 横浜国立大 (4) 横浜市立大 (5), (8), (10) 京都大 (9) 東京慈恵会医大)
次の積分を計算せよ.
(1) {\displaystyle\int_{1}^{2}}\dfrac{dx}{x\sqrt{1+x^3}}
(2) {\displaystyle\int_{0}^{1}}\sqrt{1+2\sqrt{x}}dx
(3) {\displaystyle\int_{1}^{4}}\dfrac{dx}{\sqrt{3-\sqrt{x}}}
(4) {\displaystyle\int_{0}^{1}}\log(1+\sqrt{x}) dx
(5) {\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}}(x+1)\sqrt{1-2x^2}dx
(6) {\displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}}x^2\sqrt{1-x^2} dx
(7) {\displaystyle\int_{\frac{4}{3}}^{2}}\dfrac{dx}{x^2\sqrt{x-1}}
(8) {\displaystyle\int_{0}^{2}}\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}}dx
(9) {\displaystyle\int_{0}^{1}}\log(x^2+3)dx
(10) {\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{3}}}\dfrac{1}{x^2}\log\sqrt{1+x^2}dx

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