積分計算 (発展)2

2017年12月21日

1の続きです。

1.(お茶の水女子大)
(1) 実数全体で定義された関数f(x)=x-[x]について,-3 \leqq x \leqq 3での関数のグラフを図示せよ.ただし,[x]xを超えない最大の整数を表す.
(2) 実数全体で定義された関数g(x)=(x-[x])e^{-x}について,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}{\displaystyle\int_{1}^{n}}g(x)dxを求めよ.

解答

2.(千葉大)
0以上の整数nに対して,整式T_n(x)T_0(x)=1,~T_1(x)=x,~T_n(x)=2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x)~(n=2,~3,~4,~\cdots)で定める.
(1) 0以上の任意の整数nに対して\cos n\theta=T_n(\cos\theta)となることを示せ.
(2) 定積分{\displaystyle\int_{-1}^{1}}T_n(x)dxの値を求めよ.

解答

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