積分計算 (発展)３

2017年12月21日

２の続きです。

１．(東京大)
x>0を定義域とする関数f(x)=\dfrac{12(e^{3x}-3e^x)}{e^{2x}-1}について
(1) 関数y=f(x)~(x>0)は，実数全体を定義域とする逆関数をもつことを示せ．すなわち，任意の実数aに対して，f(x)=aとなるx>0がただ1つ存在することを示せ．
(2) (1)で定められた逆関数をy=g(x)~(-\infty<x<\infty)とする．このとき，定積分{\displaystyle\int_{8}^{27}}g(x)dxを求めよ．

→解答

２．(東北大)
(1) f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}のとき，y=f(x)の逆関数y=g(x)を求めよ．
(2) (1)のf(x),~g(x)に対し，次の等式が成り立つことを示せ．
{\displaystyle\int_{a}^{b}}f(x)dx+{\displaystyle\int_{f(a)}^{f(b)}}g(x)dx=bf(b)-af(a)

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Posted by 山彦のフドウ