積分計算 (発展)3

2017年12月21日

2の続きです。

1.(東京大)
x>0を定義域とする関数f(x)=\dfrac{12(e^{3x}-3e^x)}{e^{2x}-1}について
(1) 関数y=f(x)~(x>0)は,実数全体を定義域とする逆関数をもつことを示せ.すなわち,任意の実数aに対して,f(x)=aとなるx>0がただ1つ存在することを示せ.
(2) (1)で定められた逆関数をy=g(x)~(-\infty<x<\infty)とする.このとき,定積分{\displaystyle\int_{8}^{27}}g(x)dxを求めよ.

解答

2.(東北大)
(1) f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}のとき,y=f(x)の逆関数y=g(x)を求めよ.
(2) (1)のf(x),~g(x)に対し,次の等式が成り立つことを示せ.
{\displaystyle\int_{a}^{b}}f(x)dx+{\displaystyle\int_{f(a)}^{f(b)}}g(x)dx=bf(b)-af(a)

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