積分計算 (発展)4

2017年12月21日

1.(横浜市立大)
実数を係数とする多項式f(x)に対して
(1) f(x){\displaystyle\int_{-1}^{1}}f(x)dx=0を満たせば,f(x)=0となるxが区間(-1,1)に存在することを示せ.
(2) f(x){\displaystyle\int_{-1}^{1}}f(x)dx=0,~{\displaystyle\int_{-1}^{1}}xf(x)dx=0を満たせば,f(x)=0となるxが区間(-1,1)に2個以上存在することを示せ.

解答

2.(慶応大)
区間[0,1]に属するtに対し,次の積分を考える.
f(t)={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}\sqrt{1+t\cos x}dx
(1) f(1)の値を求めよ.
(2) 0 \leqq a<b \leqq 1を満たす任意のa,~bに対し,
\dfrac{1}{2\sqrt{2}}(b-a) \leqq f(b)-f(a) \leqq \dfrac{1}{2}(b-a)
を証明せよ.そして,f(t)は区間[0,1]で連続であることを証明せよ.
(3) f(c)=\sqrt{3}を満たすようなcが区間(0,1)においてただ1つ存在することを証明せよ.

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