図形の二等分

2017年8月11日2017年12月12日

曲線が四角形や三角形を二等分するための条件を求める問題です。

１．(関西大)
$a$ は $0<a<1$ を満たす定数とする．座標平面上に4点O $(0,0)$ , A $(1,0)$ , B $(1,1)$ , C $(0,1)$ と放物線 $L$ があり， $L$ の方程式は $y=-\dfrac{1}{a}x^2+2x$ である．
(1) 放物線 $L$ の頂点の座標を求めよ．
(2) 放物線 $L$ が正方形OABCの面積を2等分するような $a$ の値を求めよ．

→解答

２．(立命館大)
放物線 $y=x^2$ と4点O $(0,0)$ , A $(t,0)$ , B $(t,4t)$ , C $(0,4t)$ を頂点とする長方形OABCがある．ただし， $t>0$ とする．長方形OABCの内部にあって， $y \leqq x^2$ を満たす領域を $S$ とし，その面積を $S(t)$ とする．
(1) $S(2)$ を求めよ．
(2) $S(t)$ を求めよ．
(3) $S(t)$ が長方形OABCの面積のちょうど半分となる $t$ の値を求めよ．

３．(津田塾大)
Oを原点とする座標平面上に，2点A $(p,0)$ , B $(0,p)~(p>0)$ がある．曲線 $y=x^3$ と線分ABとの交点の $x$ 座標を $\alpha$ とする．
(1) $p$ を $\alpha$ を用いて表せ．
(2) $\bigtriangleup$ OABの面積 $S$ が曲線 $y=x^3$ により2等分されるとき， $\alpha^2$ の値を求めよ．