図形の二等分

2017年12月12日

曲線が四角形や三角形を二等分するための条件を求める問題です。

1.(関西大)
a0<a<1を満たす定数とする.座標平面上に4点O(0,0), A(1,0), B(1,1), C(0,1)と放物線Lがあり,Lの方程式はy=-\dfrac{1}{a}x^2+2xである.
(1) 放物線Lの頂点の座標を求めよ.
(2) 放物線Lが正方形OABCの面積を2等分するようなaの値を求めよ.

解答

2.(立命館大)
放物線y=x^2と4点O(0,0), A(t,0), B(t,4t), C(0,4t)を頂点とする長方形OABCがある.ただし,t>0とする.長方形OABCの内部にあって,y \leqq x^2を満たす領域をSとし,その面積をS(t)とする.
(1) S(2)を求めよ.
(2) S(t)を求めよ.
(3) S(t)が長方形OABCの面積のちょうど半分となるtの値を求めよ.

3.(津田塾大)
Oを原点とする座標平面上に,2点A(p,0), B(0,p)~(p>0)がある.曲線y=x^3と線分ABとの交点のx座標を\alphaとする.
(1) p\alphaを用いて表せ.
(2) \bigtriangleupOABの面積Sが曲線y=x^3により2等分されるとき,\alpha^2の値を求めよ.

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