方程式と極限

2018年9月2日

方程式の解と極限の問題です。

1.(防衛医大)
f(x)=x^2+4n\cos x+1-4n,~n=1,~2,~3,~\cdotsとして以下の問いに答えよ.
(1) 各nに対してf(x)=0,~0<x<\dfrac{\pi}{2}を満たす実数xがただ1つずつあることを示せ.
(2) (1)の条件を満たすxx_nとするとき,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}x_n=0であることを示せ.
(3) 極限値{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}n{x_n}^2を求めよ.

2.(東京工業大)
nを自然数とする.
(1) f(x)=\dfrac{x^2}{n^2}+e^{2x}-1の増減を調べ,グラフの概形を描け.
(2) だ円\dfrac{x^2}{n^2}+n^2y^2=1と曲線y=\dfrac{1}{n}e^xの交点のうち\left(0,\dfrac{1}{n}\right)でない方の座標を(x_n,y_n)とおく.このとき{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{x_n}{n}=-1であることを示せ.

3.(北海道大)
関数f(x)f(x)=x\sin x-\cos xで定める.また,nを自然数とする.
(1) 2n\pi \leqq x \leqq 2n\pi+\dfrac{\pi}{2}の範囲において,f(x)=0となるxがただ1つ存在することを示せ.
(2) (1)のf(x)=0をなるxの値をa_nとする\left(2n\pi \leqq a_n \leqq 2n\pi+\dfrac{\pi}{2}\right).このとき,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}(a_n-2n\pi)を示せ.

4.(京都大)
a0<a<\piを満たす定数とする.n=0,~1,~2,~\cdotsに対し,n\pi<x<(n+1)\piの範囲に\sin(x+a)=x\sin xを満たすxがただ1つ存在するので,このxの値をx_nとする.
(1) 極限値{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}(x_n-n\pi)を求めよ.
(2) 極限値{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}n(x_n-n\pi)を求めよ.

次の2つは少し工夫が必要です。

5.(信州大)
nを自然数とする.3次方程式2x^3+3nx^2-3(n+1)=0\cdots①について,
(1) 自然数nの値にかかわらず方程式①は正の解をただ1つだけもつことを証明せよ.
(2) 方程式①の正の解をa_nとする.このとき,極限値{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_nを求めよ.

解答

6.(東京工業大)
nは2以上の自然数とする.関数y=e^x \cdots(ア), y=e^{nx}-1 \cdots(イ)について
(1) (ア)と(イ)のグラフは第1象限においてただひとつの交点をもつことを示せ.
(2) (1)で得られた交点の座標を(a_n,b_n)としたとき{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}na_nを求めよ.
(3) 第1象限内で(ア)と(イ)のグラフおよびy軸で囲まれた部分の面積をS_nとおく.このとき,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}nS_nを求めよ.

7.(東京工業大)
方程式e^x(1-\sin x)=1について,\\
(1) この方程式は負の実数解をもたないことを示せ.また,正の実数解を無限個もつことを示せ.\\
(2) この方程式の正の実数解を小さい方から順に並べてa_1,~a_2,~a_3,~\cdotsとし,S_n=\dsum{k=1}{n}a_kとおく.このとき極限値\dlim{n}{\infty}\dfrac{S_n}{n^2}を求めよ.\dai{東京工業大}

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