加法定理と整数

三角関数の加法定理の整数に関わる問題です。

1.(一橋大)
三角形ABCにおいて,\tan A,~\tan B,~\tan Cの値がすべて整数であるとき,それらの値を求めよ.

2.(京都大)
p,~qを自然数,\alpha,~\beta\tan\alpha=\dfrac{1}{p},~\tan\beta=\dfrac{1}{q}を満たす実数とする.このとき,\tan(\alpha+2\beta)=2を満たすp,~qの組(p,q)をすべて求めよ.

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