積分漸化式1

2018年8月23日

積分漸化式の問題です。まずは三角関数の積分漸化式から。これらはアステロイドなど面積や体積を求めるときに\sin,~\cosの指数が大きくなることがあるので、自在に使いこなせるようにしておくと便利です。

1.(関西医大)
nを0または正の整数としI_n={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}\sin^n x dxとおくとき
(1) 等式I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}~(n \geqq 2)が成り立つことを示せ.
(2) nが奇数,偶数の場合に分けてI_nnの式で表せ.

2.(鳥取大)
0以上の整数nに対して,I_n={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}\cos^n xdxとおくとき,次の問いに答えよ.ただし\cos^0 x=1とする.
(1) I_0,~I_1,~I_2を求めよ.
(2) n \geqq 2に対し,I_nI_{n-2}の関係式を求めよ.
(3) I_{12}を求めよ.

3.(横浜国立大)
定積分I_n={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}}\tan^n x dx~(n=1,~2,~3,~\cdots)について,
(1) I_1,~I_2を求めよ.
(2) I_{n+2}I_nで表せ.
(3) I_6を求めよ.

4.(横浜市立大)
(1) 関数\tan xの導関数を求めよ.
(2) 不定積分{\displaystyle\int}\dfrac{1}{\cos x}dxを求めよ.
(3) nを自然数とするとき,
2n{\displaystyle\int}\dfrac{1}{\cos^{2n+1}x}dx=\dfrac{\tan x}{\cos^{2n-1}x}+(2n-1){\displaystyle\int}\dfrac{1}{\cos^{2n-1}x}dx
が成り立つことを証明せよ.
(4) 定積分{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}}\dfrac{1}{\cos^3 x}dxを求めよ.

関連ブログはこちら
にほんブログ村 教育ブログへ にほんブログ村 受験ブログへ