積分漸化式２

2017年12月3日2017年12月21日

１の続きです。次は指数関数や対数関数、多項式についての積分漸化式です。

１．(小樽商科大)
$I_n={\displaystyle\int_{0}^{1}x^ne^{-x} dx}~(n=0,~1,~2,~\cdots)$ とする．
(1) $I_0$ を求めよ．
(2) $n \geqq 1$ のとき， $I_n$ を $I_{n-1}$ で表せ．
(3) $a_n=e(n!-I_n)$ とおいて， $a_n$ の漸化式を求めよ．
(4) $I_5$ を求めよ．

２．(京都大)
$n$ を自然数とし， $I_n={\displaystyle\int_{1}^{e}(\log x)^ndx}$ とおく．
(1) $I_{n+1}$ を $I_n$ を用いて示せ．
(2) すべての $n$ に対して $\dfrac{e-1}{n+1} \leqq I_n \leqq \dfrac{(n+1)e+1}{(n+1)(n+2)}$ が成り立つことを示せ．

次はベータ関数と呼ばれるものです。数学Ⅱで出てきた1/6公式、1/12公式、1/30公式を一般化したものです。

３．(高知大)
負でない整数 $m,~n$ に対して $I(m,n)={\displaystyle\int_{0}^{1}x^m(1-x)^n dx}$ とする．
(1) $n \geqq 1$ のとき， $I(m,n)$ を $I(m+1,n-1)$ および $m,~n$ を用いて表せ．
(2) $I(m,n)$ を求めよ．
(3) $\alpha,~\beta$ を異なる2個の実数とするとき，定積分 ${\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^m(x-\beta)^n dx}$ を求めよ．

次はガンマ関数について2つ。これらの結果から $n!$ を一般に $n$ を実数に拡張して定義することが可能になります。

４．(大阪教育大)
$0 \leqq x<\infty$ で定義された連続関数 $f(x)$ に対して， ${\displaystyle\lim_{m \to \infty}\int_{0}^{m}f(x)dx}$ が存在するとき，その値を ${\displaystyle\int_{0}^{\infty}f(x)dx}$ と書くことにする． $n$ を自然数とするとき，次の等式が成り立つことを証明せよ．
(1) ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}e^{-x}x^n=0$
(2) $F(n)={\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx}$ とするとき， $F(n+1)=nF(n)$
(3) $F(n+1)=n!$

５．(東北大)
(1) $n$ を正の整数とする． $t \geqq 0$ のとき，不等式 $e^t>\dfrac{t^n}{n!}$ が成り立つことを数学的帰納法で示せ．
(2) 極限 $I_m={\displaystyle\lim_{t \to \infty}\int_{0}^{t}x^me^{-x}dx}~(m=0,~1,~2,~\cdots)$ を求めよ．