積分漸化式2

2017年12月21日

1の続きです。次は指数関数や対数関数、多項式についての積分漸化式です。

1.(小樽商科大)
I_n={\displaystyle\int_{0}^{1}x^ne^{-x} dx}~(n=0,~1,~2,~\cdots)とする.
(1) I_0を求めよ.
(2) n \geqq 1のとき,I_nI_{n-1}で表せ.
(3) a_n=e(n!-I_n)とおいて,a_nの漸化式を求めよ.
(4) I_5を求めよ.

2.(京都大)
nを自然数とし,I_n={\displaystyle\int_{1}^{e}(\log x)^ndx}とおく.
(1) I_{n+1}I_nを用いて示せ.
(2) すべてのnに対して\dfrac{e-1}{n+1} \leqq I_n \leqq \dfrac{(n+1)e+1}{(n+1)(n+2)}が成り立つことを示せ.

次はベータ関数と呼ばれるものです。数学Ⅱで出てきた1/6公式、1/12公式、1/30公式を一般化したものです。

3.(高知大)
負でない整数m,~nに対してI(m,n)={\displaystyle\int_{0}^{1}x^m(1-x)^n dx}とする.
(1) n \geqq 1のとき,I(m,n)I(m+1,n-1)およびm,~nを用いて表せ.
(2) I(m,n)を求めよ.
(3) \alpha,~\betaを異なる2個の実数とするとき,定積分{\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^m(x-\beta)^n dx}を求めよ.

次はガンマ関数について2つ。これらの結果からn!を一般にnを実数に拡張して定義することが可能になります。

4.(大阪教育大)
0 \leqq x<\inftyで定義された連続関数f(x)に対して,{\displaystyle\lim_{m \to \infty}\int_{0}^{m}f(x)dx}が存在するとき,その値を{\displaystyle\int_{0}^{\infty}f(x)dx}と書くことにする.nを自然数とするとき,次の等式が成り立つことを証明せよ.
(1) {\displaystyle\lim_{x \to \infty}}e^{-x}x^n=0
(2) F(n)={\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{n-1}dx}とするとき,F(n+1)=nF(n)
(3) F(n+1)=n!

5.(東北大)
(1) nを正の整数とする.t \geqq 0のとき,不等式e^t>\dfrac{t^n}{n!}が成り立つことを数学的帰納法で示せ.
(2) 極限I_m={\displaystyle\lim_{t \to \infty}\int_{0}^{t}x^me^{-x}dx}~(m=0,~1,~2,~\cdots)を求めよ.

解答

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