eとπ

2017年12月21日

次は積分漸化式を利用してe\piが無理数であることを証明する問題です。

1.(大阪大)
自然数nに対して,関数f_n(x)=x^ne^{1-x}と,その定積分a_n={\displaystyle\int_{0}^{1}f_n(x)dx}を考える.ただし,eは自然対数の底である.
(1) 区間0 \leqq x \leqq 1上で0 \leqq f_n(x) \leqq 1であることを示し,さらに0<a_n<1が成り立つことを示せ.
(2) a_1を求めよ.n>1に対してa_na_{n-1}の間の漸化式を求めよ.
(3) 自然数nに対して,等式\dfrac{a_n}{n!}=e-\left(1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\cdots+\dfrac{1}{n!}\right)が成り立つことを証明せよ.
(4) いかなる自然数nに対しても,n!eは整数とはならないことを示せ.

解答

2.(大阪大)
\piを円周率とする.次の積分について考える.
I_0=\pi{\displaystyle\int_{0}^{1}\sin \pi tdt},~I_n=\dfrac{\pi^{n+1}}{n!}{\displaystyle\int_{0}^{1}t^n(1-t)^n\sin \pi tdt}~(n=1,~2,~\cdots)
(1) nが自然数であるとき,不等式1+\dfrac{x}{1!}+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}<e^x~(x>0)が成り立つことを数学的帰納法により示せ.これを用いて,不等式I_0+uI_1+u^2I_2+\cdots+u^nI_n<\pi e^{\pi u}~(u>0)が成立することを示せ.
(2) I_0,~I_1の値を求めよ.また,漸化式I_{n+1}=\dfrac{4n+2}{\pi}I_n-I_{n-1}~(n=1,~2,~\cdots)が成立することを示せ.
(3) \piが無理数であることを背理法により証明しよう.\piが無理数でないとし,正の整数p,~qによって\pi=\dfrac{p}{q}として表されると仮定する.A_0=I_0,~A_n=p^nI_nとおくとき,A_0,~A_1,~A_2,~\cdotsは正の整数になることを示せ.さらに,これから矛盾を導け.

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