奇関数・偶関数の積分

2017年12月21日

奇関数、偶関数の積分の問題です。そのまま計算してもできますが、奇関数、偶関数の性質を利用すれば積分区間に0を含めることができるので手際よく計算できるようになります。

1.(慶応大)
\alpha,~\betaは実数とする.どのような実数p,~qに対しても
{\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(p\cos x+q\sin x)(x^2+\alpha x+\beta) dx}=0
となるのは,\alpha=(~~~~~),~\beta=(~~~~~)のときである.

次の問題は奇関数、偶関数の積分には関係ありませんが、3の準備です。

2.(日本女子大)
aを実数とし,f(a)={\displaystyle\int_{0}^{\pi}(x-a\sin x)^2 dx}とおく.f(a)が最小となるようなaの値を求めよ.

3.(お茶の水女子大)
(1) mを自然数とする.定積分{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x\sin mx dx}の値を求めよ.
(2) m,~nを自然数とする.定積分{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx dx}の値を求めよ.
(3) a,~bを実数とする.定積分I={\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}(x-a\sin x-b\sin 2x)^2 dx}を計算せよ.
(4) (3)においてa,~bを変化させたときのIの最小値,およびそのときのa,~bの値を求めよ.

最後に奇関数、偶関数の性質についての問題です。

4.(上智大)
f(x)を,定義域が実数全体であり値が実数である関数とする.すべての実数xに対してf(-x)=f(x)を満たすとき,f(x)を偶関数とよぶ.また,すべての実数xに対してf(-x)=-f(x)を満たすとき,f(x)を奇関数とよぶ.
(1) f(x)が偶関数かつ奇関数ならば,すべてのxに対してf(x)=0であることを示せ.
(2) f(x)が連続な奇関数であるとき,任意のa>0に対して
{\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)dx}=0が成り立つことを示せ.
(3) 一般にf(x)は,偶関数と奇関数の和としてただ1通りに表せることを示せ.

解答

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