奇関数・偶関数の積分

2017年12月3日2017年12月21日

奇関数、偶関数の積分の問題です。そのまま計算してもできますが、奇関数、偶関数の性質を利用すれば積分区間に0を含めることができるので手際よく計算できるようになります。

１．(慶応大)
$\alpha,~\beta$ は実数とする．どのような実数 $p,~q$ に対しても
${\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(p\cos x+q\sin x)(x^2+\alpha x+\beta) dx}=0$
となるのは， $\alpha=(~~~~~),~\beta=(~~~~~)$ のときである．

次の問題は奇関数、偶関数の積分には関係ありませんが、3の準備です。

２．(日本女子大)
$a$ を実数とし， $f(a)={\displaystyle\int_{0}^{\pi}(x-a\sin x)^2 dx}$ とおく． $f(a)$ が最小となるような $a$ の値を求めよ．

３．(お茶の水女子大)
(1) $m$ を自然数とする．定積分 ${\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}x\sin mx dx}$ の値を求めよ．
(2) $m,~n$ を自然数とする．定積分 ${\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx dx}$ の値を求めよ．
(3) $a,~b$ を実数とする．定積分 $I={\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}(x-a\sin x-b\sin 2x)^2 dx}$ を計算せよ．
(4) (3)において $a,~b$ を変化させたときの $I$ の最小値，およびそのときの $a,~b$ の値を求めよ．

最後に奇関数、偶関数の性質についての問題です。

４．(上智大)
$f(x)$ を，定義域が実数全体であり値が実数である関数とする．すべての実数 $x$ に対して $f(-x)=f(x)$ を満たすとき， $f(x)$ を偶関数とよぶ．また，すべての実数 $x$ に対して $f(-x)=-f(x)$ を満たすとき， $f(x)$ を奇関数とよぶ．
(1) $f(x)$ が偶関数かつ奇関数ならば，すべての $x$ に対して $f(x)=0$ であることを示せ．
(2) $f(x)$ が連続な奇関数であるとき，任意の $a>0$ に対して
${\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)dx}=0$ が成り立つことを示せ．
(3) 一般に $f(x)$ は，偶関数と奇関数の和としてただ1通りに表せることを示せ．