絶対値積分1

積分する関数(被積分関数)に絶対値が含まれている積分の計算問題です。まずは{\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|dx}、すなわち、全体に絶対値がかかっているタイプから。どのように解釈してもよいのでとにかく絶対値を外すことがポイントです。

1.((2) 高知大)
次の定積分を求めよ.
(1) {\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\cos\theta| d\theta}
(2) {\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|2\cos^2 x+3\sin x|dx}

2.(青山学院大)
(1) {\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\sin nx|dx}=(~~~~~)
(2) {\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\sin nx+\cos nx|dx}=(~~~~~)
(3) nは正の整数,a,~bは実数でa^2+b^2>0とする.このとき
{\displaystyle\int_{0}^{\pi}|a\cos nx+b\sin nx|dx}=(~~~~~)

3.(熊本大)
(1) -\pi \leqq x \leqq \piのとき,\sqrt{3}\cos x-\sin x>0を満たすxの範囲を求めよ.
(2) {\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}\left|\dfrac{4\sin x}{\sqrt{3}\cos x-\sin x}\right|dx}を求めよ.

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