絶対値積分２

2017年12月3日2017年12月21日

１の続きです。絶対値積分の最大・最小の問題です。

１．(愛知教育大)
$x>0$ のとき， $f(x)={\displaystyle\int_{x}^{x+1}|\log t|dt}$ の最大値，最小値があれば求めよ．

２．(奈良女子大)
関数 $f(x)={\displaystyle\int_{x}^{x+\frac{\pi}{2}}|\sin t|dt}$ の $0 \leqq x \leqq \dfrac{3}{2}\pi$ における最大値と最小値を求めよ．

３．(早稲田大)
正の実数 $a$ に対して $f(x)=(2-ax)e^{-a(x-2)}$ とする．
(1) $f(x)$ の増減を調べ，グラフの概形をかけ．
(2) $f(x)$ を最小にする $x$ の値を $p$ で表す．このとき $S={\displaystyle\int_{0}^{p}|f(x)|dx}$ を $a$ を用いて表せ．
(3) (2)の $S$ を最小にする $a$ の値を求めよ．

→解答

次の2つは中途半端に絶対値がついているタイプです。４は $\sin,~\cos$ の中に絶対値が入っているので本質的には絶対値積分とは異なりますが、ここで扱っておきます。

４．(東北大)
$0 \leqq x \leqq \pi$ に対して，関数 $f(x)$ を $f(x)={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos |t-x|}{1+\sin |t-x|}dt}$ と定める． $f(x)$ の $0 \leqq x \leqq \pi$ における最大値と最小値を求めよ．