絶対値積分５

2017年12月3日2017年12月21日

４の続きです。最大・最小値問題への応用です。１から３は「はみだし削り論法」というもので視覚的に解決することも可能です。

１．(津田塾大)
(1) 積分 ${\displaystyle\int_{0}^{1}|e^x-a| dx}$ を求めよ．ただし， $a$ は実数とする．
(2) $a$ を動かしたときの ${\displaystyle\int_{0}^{1}|e^x-a| dx}$ の最小値を求めよ．

２．(京都工繊大)
関数 $f(x)={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin t-\sin x| dt}~\left(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)$ がある．
(1) 積分を計算し， $f(x)$ を求めよ．
(2) $f(x)$ の最大値および最小値を求めよ．

３．(横浜国立大)
(1) $0<x<\pi$ のとき， $\sin x-x\cos x>0$ を示せ．
(2) 定積分 $I={\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\sin x-ax| dx}~(0<a<1)$ を最小にする $a$ の値を求めよ．

４．(東京工業大)
実数 $a$ に対し，積分 $f(a)={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}|\sin x-a\cos x| dx}$ を考える． $f(a)$ の最小値を求めよ．

→解答

５．(東北大)
関数 $f(x)={\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\sin(t-x)-\sin 2t|dt}$ の区間 $0 \leqq x \leqq \pi$ における最大値と最小値を求めよ．

６．(首都大)
実数 $a$ に対して定積分 $f(a)={\displaystyle\int_{0}^{1}e^x|x-a| dx}$ を考えるとき，
(1) 定積分 ${\displaystyle\int_{0}^{1}e^x(x-a) dx}$ を求めよ．
(2) $f(a)$ を求めよ．
(3) $f(a)$ を最小にする $a$ の値を求めよ．