絶対値積分5

2017年12月21日

4の続きです。最大・最小値問題への応用です。1から3は「はみだし削り論法」というもので視覚的に解決することも可能です。

1.(津田塾大)
(1) 積分{\displaystyle\int_{0}^{1}|e^x-a| dx}を求めよ.ただし,aは実数とする.
(2) aを動かしたときの{\displaystyle\int_{0}^{1}|e^x-a| dx}の最小値を求めよ.

2.(京都工繊大)
関数f(x)={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin t-\sin x| dt}~\left(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\right)がある.
(1) 積分を計算し,f(x)を求めよ.
(2) f(x)の最大値および最小値を求めよ.

3.(横浜国立大)
(1) 0<x<\piのとき,\sin x-x\cos x>0を示せ.
(2) 定積分I={\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\sin x-ax| dx}~(0<a<1)を最小にするaの値を求めよ.

4.(東京工業大)
実数aに対し,積分f(a)={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}|\sin x-a\cos x| dx}を考える.f(a)の最小値を求めよ.

解答

5.(東北大)
関数f(x)={\displaystyle\int_{0}^{\pi}|\sin(t-x)-\sin 2t|dt}の区間0 \leqq x \leqq \piにおける最大値と最小値を求めよ.

6.(首都大)
実数aに対して定積分f(a)={\displaystyle\int_{0}^{1}e^x|x-a| dx}を考えるとき,
(1) 定積分{\displaystyle\int_{0}^{1}e^x(x-a) dx}を求めよ.
(2) f(a)を求めよ.
(3) f(a)を最小にするaの値を求めよ.

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