積分方程式1

2017年12月21日

積分方程式の問題です。まずは不定積分型から。不定積分型は不定積分は定数なのでA (定数)などとおくのが定石です。

1.((1) 関西大 (3) 山形大 (4) 徳島大 (5) 九州大)
(1) f(x)=e^x-{\displaystyle\int_{0}^{1}f(t) dt}を満たす関数f(x)を求めよ.
(2) f(x)=x+{\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(t)\sin(x+t) dt}を満たす関数f(x)を求めよ.
(3) 微分可能な関数f(x)~(x>0)が等式f(x)=x\log x+{\displaystyle\int_{1}^{e}tf'(t) dt}を満たすとき,f'(x)f(1)を求めよ.ただし,対数\log xxの自然対数であり,eはその底とする.
(4) 次の関係を満たす関数f(x)を求めよ.
f'(x)=x\sin x-2{\displaystyle\int_{0}~{\pi}f(x) dx},~f(0)=0
(5) 次の関係を満たす連続関数f(x),~g(x)を求めよ.
f(x)=x^2+{\displaystyle\int_{0}^{1}tg(t) dt},~g(x)=e^{-x}+x{\displaystyle\int_{0}^{1}f(t) dt}

2.(福島大)
(1) 関数f(x)f(x)=x^2+{\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(t)\sin tdt}を満たすとき,f(x)を求めよ.
(2) 等式f(x)=x^2+{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(t)\sin tdt}を満たす関数f(x)は存在しないことを示せ.

3.(慶応大)
関数f(x),~g(x)
\left\{\begin{array}{l} f(x)=xe^x+2x{\displaystyle\int_{0}^{2}|g(t)|dt}-1\\ g(x)=x^2-x{\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt} \end{array}\right.
を満たすとき,{\displaystyle\int_{0}^{2}|g(t)|dt}の値を求めよ.

解答

4.(早稲田大)
mを正の整数とするとき,次の等式を満たす関数f(x)を求めよ.
f(x)=\cos 2mx+{\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(t)|\cos t|dt}

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