積分方程式１

2017年12月5日2017年12月21日

積分方程式の問題です。まずは不定積分型から。不定積分型は不定積分は定数なので $A$ (定数)などとおくのが定石です。

１．((1) 関西大　(3) 山形大　(4) 徳島大　(5) 九州大)
(1) $f(x)=e^x-{\displaystyle\int_{0}^{1}f(t) dt}$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ．
(2) $f(x)=x+{\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(t)\sin(x+t) dt}$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ．
(3) 微分可能な関数 $f(x)~(x>0)$ が等式 $f(x)=x\log x+{\displaystyle\int_{1}^{e}tf'(t) dt}$ を満たすとき， $f'(x)$ と $f(1)$ を求めよ．ただし，対数 $\log x$ は $x$ の自然対数であり， $e$ はその底とする．
(4) 次の関係を満たす関数 $f(x)$ を求めよ．
$f'(x)=x\sin x-2{\displaystyle\int_{0}~{\pi}f(x) dx},~f(0)=0$
(5) 次の関係を満たす連続関数 $f(x),~g(x)$ を求めよ．
$f(x)=x^2+{\displaystyle\int_{0}^{1}tg(t) dt},~g(x)=e^{-x}+x{\displaystyle\int_{0}^{1}f(t) dt}$

２．(福島大)
(1) 関数 $f(x)$ が $f(x)=x^2+{\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(t)\sin tdt}$ を満たすとき， $f(x)$ を求めよ．
(2) 等式 $f(x)=x^2+{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(t)\sin tdt}$ を満たす関数 $f(x)$ は存在しないことを示せ．

３．(慶応大)
関数 $f(x),~g(x)$ が
$\left\{\begin{array}{l} f(x)=xe^x+2x{\displaystyle\int_{0}^{2}|g(t)|dt}-1\\ g(x)=x^2-x{\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)dt} \end{array}\right.$
を満たすとき， ${\displaystyle\int_{0}^{2}|g(t)|dt}$ の値を求めよ．