積分方程式２

2017年12月5日2018年8月24日

不定積分型をやる前に不定積分の微分公式から。

１．((1) 東京商船大　(3) 防衛大)

(1) 関数 $f(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}e^t\sin t dt}$ を求めよ．
(2) $f(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}(1-t^2)e^t dt}$ の極値を求めよ．
(3) $f(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)\sin 2tdt}$ のとき， $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ の値を求めよ．

２．((1) 芝浦工業大)
(1) $f(x)$ は連続， $g(x)$ と $h(x)$ は微分可能な関数とすれば，
$\dfrac{d}{dx}{\displaystyle\int_{g(x)}^{h(x)}f(t) dt}=(~~~~~)$ ．
(2) 関数 $y={\displaystyle\int_{2x}^{x^2}\sin tdt}$ を $x$ について微分せよ．

３．(慶応大)
関数 $f(x)$ を $f(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^2}dt}$ と定め， $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を用いて関数 $g(t)$ を $g(t)=f^{-1}(t)$ と定める．このとき， $G(x)=(~~~~~)$ を用いて $g''(t)=G(g(t))$ と表すことができる．