積分方程式2

2018年8月24日

不定積分型をやる前に不定積分の微分公式から。

1.((1) 東京商船大 (3) 防衛大)

(1) 関数f(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}e^t\sin t dt}を求めよ.
(2) f(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}(1-t^2)e^t dt}の極値を求めよ.
(3) f(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)\sin 2tdt}のとき,f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)の値を求めよ.

2.((1) 芝浦工業大)
(1) f(x)は連続,g(x)h(x)は微分可能な関数とすれば,
\dfrac{d}{dx}{\displaystyle\int_{g(x)}^{h(x)}f(t) dt}=(~~~~~)
(2) 関数y={\displaystyle\int_{2x}^{x^2}\sin tdt}xについて微分せよ.

3.(慶応大)
関数f(x)f(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}e^{t^2}dt}と定め,f(x)の逆関数f^{-1}(x)を用いて関数g(t)g(t)=f^{-1}(t)と定める.このとき,G(x)=(~~~~~)を用いてg''(t)=G(g(t))と表すことができる.

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