積分方程式3

2018年9月3日

積分方程式の不定積分型です。不定積分型は両辺をxで微分するのが定石です。

1.((1) 東海大 (2) 関西大 (3) 小樽商科大)
(1) {\displaystyle\int_{a}^{x}f(t) dt}=e^{2x}-2であるとき,a=(~~~~~),~f(x)=(~~~~~)である.
(2) {\displaystyle\int_{0}^{2x}f(t) dt}=xe^{-x}を満たす連続関数f(x)を求めよ.
(3) 関数f(x){\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)(x-t) dt}=\log (1+x^2)をみたすという.このとき,f(x)を求めよ.

2.(埼玉大)
関数f(x)は微分可能でf(x)=x^2e^{-x}+{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{t-x}f(t)dt}を満たすものとする.
(1) f(0),~f'(0)を求めよ.
(2) f'(x)を求めよ.
(3) f(x)を求めよ.

3.(東京電機大)
微分可能な関数y=f(x)が方程式f(x)=2-2{\displaystyle\int_{0}^{x}f(t) dt}を満たすとき
(1) f'(x)f(x)で表せ.
(2) g(x)=e^{2x}f(x)とおくとき,g'(x)を求めよ.
(3) f(x)を求めよ.

4.(広島大)
関数f(x)が任意の実数xに対してf(x)=x^2-{\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f'(t) dt}を満たすとき,
(1) f(0)の値を求め,さらに,f'(x)=2x-f(x)が成り立つことを示せ.
(2) \{e^xf(x)\}'=2xe^xを示せ.
(3) f(x)を求めよ.

5.(明治大)
関数f(x)は,f(x)=2x-3+{\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\sin(x-t) dt}をみたし,第2次導関数f''(x)をもつものとする.
(1) f(0)を求めよ.
(2) 三角関数の加法定理を用いて,f'(0)を求めよ.
(3) f''(x)xの整式で表せ.
(4) f'(x)およびf(x)を求めよ.

6.(熊本大)
2つの関数f(x)g(x)は微分可能で
f(x)=2e^{-x}+{\displaystyle\int_{0}^{\pi}g'(t)dt,~g(x)=\cos x+\int_{0}^{x}tf(t)dt}
を満たすとする.ただし,g'(t)g(t)の導関数である.k={\displaystyle\int_{0}^{\pi}g'(t)dt}とおくとき,
(1) kを求めよ.
(2) f(x)およびg(x)を求めよ.

7.(豊橋技術科学大)
(1) 任意の連続関数f(x)において,\dfrac{d}{dx}{\displaystyle\int_{0}^{x}f(x-t) dt}=f(x)を示せ.
(2) {\displaystyle\int_{0}^{x}f(x-t) dt}=2f(x)-1を満たす関数f(x)を求めよ.

8.((1) 奈良県立医大 (2) 青山学院大)
(1) 実数全体で連続な関数f(x)が,任意の実数xに対して関係式{\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t)dt}=e^x-x-1を満たすとする.このとき,関数f(x)を求めよ.
(2) ある連続関数f(x)に対して,F(x)=-\dfrac{1}{2}x+{\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t) dt}とおくとき,F''(x)=\sin xであるという.このとき,関数f(x)およびF(x)を求めよ.

9.(岡山県立大)
微分可能な関数f(x)が,次の関係を満足している.
f(x)=1+x^2+{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t}f(x-t)dt}
(1) f(0)を求めよ.
(2) {\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t}f(x-t)dt=e^{-x}\int_{0}^{x}e^tf(t)dt}が成り立つことを示せ.
(3) f(x)の導関数f'(x)を求めよ.
(4) f(x)を求めよ.

10.(静岡大)
(1) 不定積分{\displaystyle\int_{}^{}xe^{-x}dx}を求めよ.
(2) (1)の結果を用いて,不定積分{\displaystyle\int_{}^{}x^2e^{-x}dx}を求めよ.
(3) 次の等式を満たす連続関数f(x)を求めよ.
f(x)=x^3e^{-x}+{\displaystyle\int_{0}^{x}f(x-t)e^{-t}dt}

最後にガンマ関数に関わる問題です。

11.(東京慈恵会医大)
nは自然数とし,微分可能な関数f_n(x)は等式
f_n(x)=e^{-x}x^{n+1}+{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t}f(x-t)dt}を満たすとする.このとき,次の問いに答えよ.ただし,eは自然対数の底である.
(1) \dfrac{d}{dx}f_n(x)を求めよ.
(2) mは2以上の自然数とする.x>0のとき,不等式e^{-x}x^m \leqq e^{-m}m^mが成り立つことを示せ.
(3) 極限値{\displaystyle\lim_{x \to \infty}}f_n(x)を求めよ.

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