積分方程式３

2017年12月7日2018年9月3日

積分方程式の不定積分型です。不定積分型は両辺を $x$ で微分するのが定石です。

１．((1) 東海大　(2) 関西大　(3) 小樽商科大)
(1) ${\displaystyle\int_{a}^{x}f(t) dt}=e^{2x}-2$ であるとき， $a=(~~~~~),~f(x)=(~~~~~)$ である．
(2) ${\displaystyle\int_{0}^{2x}f(t) dt}=xe^{-x}$ を満たす連続関数 $f(x)$ を求めよ．
(3) 関数 $f(x)$ が ${\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)(x-t) dt}=\log (1+x^2)$ をみたすという．このとき， $f(x)$ を求めよ．

２．(埼玉大)
関数 $f(x)$ は微分可能で $f(x)=x^2e^{-x}+{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{t-x}f(t)dt}$ を満たすものとする．
(1) $f(0),~f'(0)$ を求めよ．
(2) $f'(x)$ を求めよ．
(3) $f(x)$ を求めよ．

３．(東京電機大)
微分可能な関数 $y=f(x)$ が方程式 $f(x)=2-2{\displaystyle\int_{0}^{x}f(t) dt}$ を満たすとき
(1) $f'(x)$ を $f(x)$ で表せ．
(2) $g(x)=e^{2x}f(x)$ とおくとき， $g'(x)$ を求めよ．
(3) $f(x)$ を求めよ．

４．(広島大)
関数 $f(x)$ が任意の実数 $x$ に対して $f(x)=x^2-{\displaystyle\int_{0}^{x}(x-t)f'(t) dt}$ を満たすとき，
(1) $f(0)$ の値を求め，さらに， $f'(x)=2x-f(x)$ が成り立つことを示せ．
(2) $\{e^xf(x)\}'=2xe^x$ を示せ．
(3) $f(x)$ を求めよ．

５．(明治大)
関数 $f(x)$ は， $f(x)=2x-3+{\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\sin(x-t) dt}$ をみたし，第2次導関数 $f''(x)$ をもつものとする．
(1) $f(0)$ を求めよ．
(2) 三角関数の加法定理を用いて， $f'(0)$ を求めよ．
(3) $f''(x)$ を $x$ の整式で表せ．
(4) $f'(x)$ および $f(x)$ を求めよ．

６．(熊本大)
2つの関数 $f(x)$ と $g(x)$ は微分可能で
$f(x)=2e^{-x}+{\displaystyle\int_{0}^{\pi}g'(t)dt,~g(x)=\cos x+\int_{0}^{x}tf(t)dt}$
を満たすとする．ただし， $g'(t)$ は $g(t)$ の導関数である． $k={\displaystyle\int_{0}^{\pi}g'(t)dt}$ とおくとき，
(1) $k$ を求めよ．
(2) $f(x)$ および $g(x)$ を求めよ．

７．(豊橋技術科学大)
(1) 任意の連続関数 $f(x)$ において， $\dfrac{d}{dx}{\displaystyle\int_{0}^{x}f(x-t) dt}=f(x)$ を示せ．
(2) ${\displaystyle\int_{0}^{x}f(x-t) dt}=2f(x)-1$ を満たす関数 $f(x)$ を求めよ．

８．((1) 奈良県立医大　(2) 青山学院大)
(1) 実数全体で連続な関数 $f(x)$ が，任意の実数 $x$ に対して関係式 ${\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t)dt}=e^x-x-1$ を満たすとする．このとき，関数 $f(x)$ を求めよ．
(2) ある連続関数 $f(x)$ に対して， $F(x)=-\dfrac{1}{2}x+{\displaystyle\int_{0}^{x}tf(x-t) dt}$ とおくとき， $F''(x)=\sin x$ であるという．このとき，関数 $f(x)$ および $F(x)$ を求めよ．

９．(岡山県立大)
微分可能な関数 $f(x)$ が，次の関係を満足している．
$f(x)=1+x^2+{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t}f(x-t)dt}$
(1) $f(0)$ を求めよ．
(2) ${\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t}f(x-t)dt=e^{-x}\int_{0}^{x}e^tf(t)dt}$ が成り立つことを示せ．
(3) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ．
(4) $f(x)$ を求めよ．

１０．(静岡大)
(1) 不定積分 ${\displaystyle\int_{}^{}xe^{-x}dx}$ を求めよ．
(2) (1)の結果を用いて，不定積分 ${\displaystyle\int_{}^{}x^2e^{-x}dx}$ を求めよ．
(3) 次の等式を満たす連続関数 $f(x)$ を求めよ．
$f(x)=x^3e^{-x}+{\displaystyle\int_{0}^{x}f(x-t)e^{-t}dt}$

最後にガンマ関数に関わる問題です。

１１．(東京慈恵会医大)
$n$ は自然数とし，微分可能な関数 $f_n(x)$ は等式
$f_n(x)=e^{-x}x^{n+1}+{\displaystyle\int_{0}^{x}e^{-t}f(x-t)dt}$ を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．ただし， $e$ は自然対数の底である．
(1) $\dfrac{d}{dx}f_n(x)$ を求めよ．
(2) $m$ は2以上の自然数とする． $x>0$ のとき，不等式 $e^{-x}x^m \leqq e^{-m}m^m$ が成り立つことを示せ．
(3) 極限値 ${\displaystyle\lim_{x \to \infty}}f_n(x)$ を求めよ．

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