積分方程式4

2017年12月21日

漸化式型積分方程式です。まずは定積分型から。定積分は定数なのでa_nなどとおくのが定石です。

1.(名古屋大)
関数列\{f_n(x)\}を次のように定義する.
f_1(x)=x,~f_n(x)=x+\dfrac{1}{2}{\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x+t}f_{n-1}(t)dt}~(n=2,~3,~\cdots)
(1) f_2(x)を求めよ.
(2) f_n(x)を求めよ.
(3) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}f_n(x)}を求めよ.

解答

次は不定積分型です。不定積分は定数ではなく関数なのでa_n (定数)とおいてはいけません。一般項を推定して帰納法で証明するのが定石です。

2.(福井大)
関数f_n(x)~(n=0,~1,~2,~3,~\cdots)は次の条件を満たしている.
(ⅰ) f_0(x)=e^x
(ⅱ) f_n(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}(n+t)f_{n-1}(t)dt}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
このとき
(1) f_1(x),~f_2(x)を求めよ.
(2) f_n(x)の具体的な形を推測し,その結果を数学的帰納法で証明せよ.

解答

3.(東京医科歯科大)
x \geqq 0を定義域とする関数の列f_0(x),~f_1(x),~\cdots,~f_n(x),~\cdotsを次式により帰納的に定義する.
f_0(x)=1,~f_n(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}\dfrac{f_{n-1}(t)}{t+1}dt}~(n \geqq 1)
(1) f_1(x),~f_2(x),~f_3(x)を求めよ.
(2) f_n(x)を求めよ.
(3) 曲線y=f_n(x)~(n \geqq 1),直線x=a~(a>0)およびx軸で囲まれる図形の面積をS_n(a)とおくとき,S_n(a)+S_{n+1}(a)=\dfrac{a+1}{(n+1)!}を満たすaの値を求めよ.
(4) 無限級数{\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^k}{k!}}の和を求めよ.

4.(名古屋市立大)
自然数nに対して関数f_n(x)
f_1(x)=x,~n \geqq 2のときf_n(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}tf_{n-1}(x-t)dt}
で定める.
(1) f_2(x),~f_3(x)を求めよ.
(2) f_n(x)を推測し,それが正しいことを証明せよ.

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