関数方程式

2017年12月21日

関数方程式の問題です。

1.(東京電機大)
f(x)x>0で定義された関数で,x=1で微分可能でf'(1)=2かつ任意のx>0,~y>0に対してf(xy)=f(x)+f(y)を満足するものとする.このとき,
(1) f(1)の値を求めよ.これを利用することにより,f\left(\dfrac{1}{x}\right)f(x)で表せ.
(2) f\left(\dfrac{x}{y}\right)f(x)f(y)で表せ.
(3) f(1),~f'(1)の値に注意することにより,{\displaystyle\lim_{h \to 0}}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}xで表せ.
(4) f(x)を求めよ.

2.(山口大)
f(x)x=0で微分可能な関数でf'(0)=k~(k \ne 0)とする.また任意の実数x,~yに対して等式f(x+y)=f(x)f(y)を満たしているとする.
(1) f(0)=1を示せ.
(2) 任意の実数aに対してf(x)x=aで微分可能であることを示せ.
(3) g(x)=\log f(x)とするとき,g'(x)=f'(0)が成り立つことを示せ.
(4) f(x)を求めよ.

3.(山形大)
xの関数f(x)g(x)の間に次の関係がある.
f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)\cdots
g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y)\cdots
\{f(x)\}^2+\{g(x)\}^2=1\cdots
(1) f(0),~g(0)を求めよ.
(2) f(-x)=-f(x),~g(-x)=g(x)を証明せよ.
(3) f(u)-f(v)=2g\left(\dfrac{u+v}{2}\right)f\left(\dfrac{u-v}{2}\right)を証明せよ.
(4) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{f(x)}{x}=1のとき,f'(x)=g(x)を証明せよ.

解答

4.(東京医科歯科大)
微分可能な関数f(x),~g(x)が次の4条件を満たしている.
(A) 任意の正の実数xについてf(x)>0,~g(x)>0
(B) 任意の実数xについてf(-x)=f(x),~g(-x)=-g(x)
(C) 任意の実数x,~yについてf(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)
(D) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{g(x)}{x}=2
(1) f(0)およびg(0)を求めよ.
(2) \{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2を求めよ.
(3) {\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{1-f(x)}{x^2}を求めよ.
(4) f(x)の導関数をg(x)を用いて表せ.
(5) 曲線y=f(x)g(x),直線x=a~(a>0)およびx軸で囲まれる図形の面積が1のときf(a)の値を求めよ.

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