関数方程式

2017年12月7日2017年12月21日

関数方程式の問題です。

１．(東京電機大)
$f(x)$ は $x>0$ で定義された関数で， $x=1$ で微分可能で $f'(1)=2$ かつ任意の $x>0,~y>0$ に対して $f(xy)=f(x)+f(y)$ を満足するものとする．このとき，
(1) $f(1)$ の値を求めよ．これを利用することにより， $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ を $f(x)$ で表せ．
(2) $f\left(\dfrac{x}{y}\right)$ を $f(x)$ と $f(y)$ で表せ．
(3) $f(1),~f'(1)$ の値に注意することにより， ${\displaystyle\lim_{h \to 0}}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ を $x$ で表せ．
(4) $f(x)$ を求めよ．

２．(山口大)
$f(x)$ は $x=0$ で微分可能な関数で $f'(0)=k~(k \ne 0)$ とする．また任意の実数 $x,~y$ に対して等式 $f(x+y)=f(x)f(y)$ を満たしているとする．
(1) $f(0)=1$ を示せ．
(2) 任意の実数 $a$ に対して $f(x)$ は $x=a$ で微分可能であることを示せ．
(3) $g(x)=\log f(x)$ とするとき， $g'(x)=f'(0)$ が成り立つことを示せ．
(4) $f(x)$ を求めよ．

３．(山形大)
$x$ の関数 $f(x)$ と $g(x)$ の間に次の関係がある．
$f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)\cdots$ ①
$g(x+y)=g(x)g(y)-f(x)f(y)\cdots$ ②
$\{f(x)\}^2+\{g(x)\}^2=1\cdots$ ③
(1) $f(0),~g(0)$ を求めよ．
(2) $f(-x)=-f(x),~g(-x)=g(x)$ を証明せよ．
(3) $f(u)-f(v)=2g\left(\dfrac{u+v}{2}\right)f\left(\dfrac{u-v}{2}\right)$ を証明せよ．
(4) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{f(x)}{x}=1$ のとき， $f'(x)=g(x)$ を証明せよ．

→解答

４．(東京医科歯科大)
微分可能な関数 $f(x),~g(x)$ が次の4条件を満たしている．
(A) 任意の正の実数 $x$ について $f(x)>0,~g(x)>0$
(B) 任意の実数 $x$ について $f(-x)=f(x),~g(-x)=-g(x)$
(C) 任意の実数 $x,~y$ について $f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)$
(D) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{g(x)}{x}=2$
(1) $f(0)$ および $g(0)$ を求めよ．
(2) $\{f(x)\}^2-\{g(x)\}^2$ を求めよ．
(3) ${\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{1-f(x)}{x^2}$ を求めよ．
(4) $f(x)$ の導関数を $g(x)$ を用いて表せ．
(5) 曲線 $y=f(x)g(x)$ ，直線 $x=a~(a>0)$ および $x$ 軸で囲まれる図形の面積が1のとき $f(a)$ の値を求めよ．

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