積分と不等式１

2017年12月8日

積分と不等式の問題です。

１．(静岡大)
(1) 定積分 ${\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+x^2}dx}$ の値を求めよ．
(2) 不等式 $\dfrac{\pi}{4}<{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+x^4}dx}<1$ が成り立つことを示せ．

２．
$0 \leqq x \leqq 1$ のとき， $1-x^2 \leqq 1-x^4 \leqq 1$ であることを示し，これを用いて，不等式 $\dfrac{\pi}{4}<{\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^4}dx}<1$ を証明せよ．

３．(大阪大)
円周率を $\pi$ とする．正の整数 $n$ に対し
$a_n={\displaystyle\int_{0}^{2-\sqrt{3}}\dfrac{1-x^{4n}}{1+x^2}dx},~b_n={\displaystyle\int_{0}^{2-\sqrt{3}}\dfrac{1+x^{4n+2}}{1+x^2}dx}$
とおく．
(1) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n=\dfrac{\pi}{12}}$ を証明せよ．
(2) $3.141<\pi<3.142$ を証明せよ．ただし， $1.7320508<\sqrt{3}<1.7320509$ である．