積分と不等式1

積分と不等式の問題です。

1.(静岡大)
(1) 定積分{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+x^2}dx}の値を求めよ.
(2) 不等式\dfrac{\pi}{4}<{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1}{1+x^4}dx}<1が成り立つことを示せ.

2.
0 \leqq x \leqq 1のとき,1-x^2 \leqq 1-x^4 \leqq 1であることを示し,これを用いて,不等式\dfrac{\pi}{4}<{\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^4}dx}<1を証明せよ.

3.(大阪大)
円周率を\piとする.正の整数nに対し
a_n={\displaystyle\int_{0}^{2-\sqrt{3}}\dfrac{1-x^{4n}}{1+x^2}dx},~b_n={\displaystyle\int_{0}^{2-\sqrt{3}}\dfrac{1+x^{4n+2}}{1+x^2}dx}
とおく.
(1) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n=\dfrac{\pi}{12}}を証明せよ.
(2) 3.141<\pi<3.142を証明せよ.ただし,1.7320508<\sqrt{3}<1.7320509である.

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