積分と不等式2

1の続きです。次もよくある問題です。e^{-x^2}e^{-\sin x}は高校の範囲では原始関数を求められませんが、評価をすることはできます。e^{-x^2}の積分はガウス積分に関わり、統計の正規分布で重要となるものなので入試にもよく出題されます。ちなみにガウス積分とは{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx}=\sqrt{\pi}というもので、大学で学ぶ重積分や複素積分によって求めることができます。

1.(東京電機大)
(1) y=e^xのグラフ上の点(0,1)を通る接線の方程式を求めよ.
(2) すべてのxに対して,不等式e^x \geqq x+1e^{-x^2} \leqq \dfrac{1}{x^2+1}が成り立つことを証明せよ.
(3) 0 \leqq x \leqq 1において不等式e^{-x} \leqq e^{-x^2}が成り立つことを証明せよ.
(4) 不等式1-\dfrac{1}{e}<{\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x^2}dx}<\dfrac{\pi}{4}を証明せよ.

2.(大阪教育大)
次の不等式を示せ.
(1) 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}に対して,\sin x \leqq x
(2) 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}に対して,e^{-x} \leqq e^{-\sin x} \leqq e^{-\frac{2x}{\pi}}
(3) 1-\dfrac{1}{e}<{\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{-\sin x}dx} \leqq \dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{1}{e}\right)

次は積分を利用して得られた不等式を使って極限値を求める問題です。

3.(北海道大)
(1) x \geqq 0のとき,x-\dfrac{x^3}{6} \leqq \sin x \leqq xを示せ.
(2) x \geqq 0のとき,\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^5}{30} \leqq {\displaystyle\int_{0}^{x}t\sin t dt} \leqq \dfrac{x^3}{3}を示せ.
(3) 極限値{\displaystyle\lim_{x \to 0}}\dfrac{\sin x-x\cos x}{x^3}を求めよ.

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