積分と不等式3

2017年12月21日

次は不等式を利用して積分の極限値を求める問題です。

1.(東京理科大)
(1) nを正の整数とするとき,0 \leqq x \leqq 1において,不等式e^x-ex^n \leqq \dfrac{e^x}{1+x^n} \leqq e^xが成立することを示せ.
(2) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1}\dfrac{e^x}{1+x^n}dx}を求めよ.
(3) a>1のとき,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{a}\dfrac{e^x}{1+x^n}dx}を求めよ.

解答

2.(お茶の水女子大)
(1) nを自然数とするとき,0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}の範囲で,y=\dfrac{[n\sin x]}{n}のグラフの概形をかけ.ただし,実数aに対して[a]aを超えない最大の整数を表す.
(2) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{[n\sin x]}{n}dx}を求めよ.

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