積分と級数1

積分と級数の問題です。積分を不等式で評価して級数の収束発散を調べる問題です。

1.(小樽商科大)
(1) k>0のとき,{\displaystyle\int_{k}^{k+1}\dfrac{1}{x}dx} \leqq \dfrac{1}{k}を示せ.
(2) \log(n+1) \leqq \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}を示せ.
(3) 級数\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\cdotsの収束,発散を調べ,収束するときは和を求めよ.

2.(筑波大)
a_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k},~b_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}とする.
(1) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n}を求めよ.
(2) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}\dfrac{b_n}{a_n}}を求めよ.

3.((1) 愛知教育大 (2) 東京大)
(1) 任意の自然数nに対して不等式\dfrac{1}{(n+1)^2} \leqq {\displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x^2}dx} \leqq \dfrac{1}{n^2}および1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2} \leqq 2-\dfrac{1}{n}が成り立つことを示せ.
(2) a_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k}},~b_k=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}}とするとき,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n,~\lim_{n \to \infty}\dfrac{b_n}{a_n}}を求めよ.

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