積分と級数１

2017年12月8日

積分と級数の問題です。積分を不等式で評価して級数の収束発散を調べる問題です。

１．(小樽商科大)
(1) $k>0$ のとき， ${\displaystyle\int_{k}^{k+1}\dfrac{1}{x}dx} \leqq \dfrac{1}{k}$ を示せ．
(2) $\log(n+1) \leqq \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}$ を示せ．
(3) 級数 $\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\cdots$ の収束，発散を調べ，収束するときは和を求めよ．

２．(筑波大)
$a_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k},~b_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{2k+1}}$ とする．
(1) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n}$ を求めよ．
(2) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}\dfrac{b_n}{a_n}}$ を求めよ．

３．((1) 愛知教育大　(2) 東京大)
(1) 任意の自然数 $n$ に対して不等式 $\dfrac{1}{(n+1)^2} \leqq {\displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x^2}dx} \leqq \dfrac{1}{n^2}$ および $1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\cdots+\dfrac{1}{n^2} \leqq 2-\dfrac{1}{n}$ が成り立つことを示せ．
(2) $a_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k}},~b_k=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{2k+1}}}$ とするとき， ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n,~\lim_{n \to \infty}\dfrac{b_n}{a_n}}$ を求めよ．