積分と級数２

2017年12月8日2017年12月21日

次はライプニッツ級数 (グレゴリー級数)、メルカトール級数の問題です。まずはライプニッツ級数から。

１．(東京医科歯科大)
$n$ を正の整数とするとき，
(1) $S_n={\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{1-(-x^2)^n}{1+x^2}dx}$ の値を求めよ．
(2) $\left|S_n-{\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dx}{1+x^2}}\right| \leqq \dfrac{1}{2n+1}$ であることを示せ．
(3) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}S_n$ の値を求めよ．

２．(静岡大)
自然数 $n$ に対して $f_n(x)=1-x+x^2-x^3+\cdots+(-1)^{n-1}x^{n-1}$ とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $x \geqq 0$ のとき， $\left|f_n(x)-\dfrac{1}{x+1}\right| \leqq x^n$ が成り立つことを示せ．
(2) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1}f_n(x)dx=\int_{0}^{1}\dfrac{1}{x+1}dx}$ が成り立つことを示せ．
(3) $a_n=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$ とするとき， ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n$ を求めよ．

次は別のアプローチでライプニッツ級数、メルカトール級数を求めてみましょう。

３．(琉球大)
自然数 $n=1,~2,~3,~\cdots$ に対して， $I_n={\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^n}{1+x}dx}$ とおく．
(1) $I_1$ を求めよ．さらに，すべての自然数 $n$ に対して， $I_n+I_{n+1}=\dfrac{1}{n+1}$ が成り立つことを示せ．
(2) 不等式 $\dfrac{1}{2(n+1)} \leqq I_n \leqq \dfrac{1}{n+1}$ が成り立つことを示せ．
(3) これらの結果を使って， $\log 2={\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}}$ が成り立つことを示せ．

４．(神戸大)
負でない整数 $n$ に対して， $I(n)={\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{2n}}{1+x^2}dx}$ とする．このとき，
(1) $I(n)+I(n+1)$ を $n$ を用いた式でかけ．
(2) ${\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}=I(0)+a_nI(n)$ を満たす $a_n$ の値を求めよ．
(3) 無限級数 ${\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}$ の和を求めよ．

５．(北海道大)
自然数 $n$ に対して $a_n={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\tan x)^{2n}dx}$ とおく．
(1) $a_1$ を求めよ．
(2) $a_{n+1}$ を $a_n$ で表せ．
(3) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n$ を求めよ．
(4) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k+1}}{2k-1}}$ を求めよ．

最後にバーゼル問題に関わる問題です。自己推薦入試の問題らしいのでかなり難しいですが、高校数学の範囲でバーゼル問題を解くことができます。 ${\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{l^2}}$ はゼータ関数 $\zeta (2)$ というもので、現代数学、特に解析的数論で重要なものです。リーマン予想 (未解決問題)に深く関わっています。

６．(日本女子大)
$n$ は正の整数または0とする．
(1) 次の式を示せ．
${\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n xdx}$
(2) $I_n={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n xdx}$ とおく．次の式を示せ．
$I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}~(n \geqq 2)$
(3) 次の式を示せ．
$I_n=\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}$ ( $n$ が偶数のとき)
$=\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{2}{3}$ ( $n$ が奇数のとき)
(4) $S_n={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2n}xdx}$ とおく．次の式を示せ．
$S_{n-1}-\dfrac{2n}{2n-1}S_n=\dfrac{2}{2n(2n-1)}I_{2n}~(n \geqq 1)$
(5) 次の式を示せ．ただし， $N$ は整数で $N \geqq 1$ とする．
$S_N=\dfrac{(2N-1)(2N-3)\cdot\cdots\cdots\cdot5\cdot3\cdot1}{(2N)(2N-2)\cdot\cdots\cdots\cdot4\cdot2}\cdot\dfrac{\pi}{4}\left(\dfrac{\pi^2}{6}-{\displaystyle\sum_{n=1}^{N}}\dfrac{1}{n^2}\right)$
(6) 次の式を示せ．ただし， $N$ は整数で $N \geqq 1$ とする．
$S_N \leqq \dfrac{1}{2N+2}\dfrac{(2N-1)(2N-3)\cdot\cdots\cdots\cdot5\cdot3\cdot1}{(2N)(2N-2)\cdot\cdots\cdots\cdot4\cdot2}\cdot\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^3$
なお， $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ では $x<\dfrac{\pi}{2}\sin x$ であることを用いてよい．
(7) 次の式を示せ。
${\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$