積分と級数3

2017年12月21日

次はテイラー展開、マクローリン展開に関わる問題です。

1.(鹿児島大)
負でない整数kに対してa_k={\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-x}x^kdx}とおく.このとき,
(1) k \geqq 1のとき,a_ka_{k-1}の間に成り立つ関係式を求めよ.
(2) b_k=\dfrac{a_k}{k!}とおく.b_kb_{k-1}の間の関係を求め,これよりすべての自然数nに対してb_n-b_0=-e^{-1}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{1}{k!}が成り立つことを示せ.
(3) すべての自然数nに対して,不等式0 \leqq a_n \leqq \dfrac{1}{n+1}が成り立つことを示し,これを用いてe={\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}}\dfrac{1}{k!}となることを証明せよ.

2.(新潟大)
a_n={\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{(1-x)^{n-1}}{(n-1)!}e^xdx}~(n=1,~2,~3,~\cdots)とおくとき,
(1) 0<a_n<\dfrac{e}{n!}~(n \geqq 1)であることを示せ.
(2) a_n=e-\left\{1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\cdots+\dfrac{1}{(n-1)!}\right\}~(n \geqq 1)であることを示せ.
(3) (1)と(2)により,次の無限級数の和を求めよ.
1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\cdots

3.(熊本大)
0以上の整数nに対して,x \geqq 0で定義された関数I_n(x)I_n(x)={\displaystyle\int_{0}^{x}t^ne^{-t}dt}とおく.
(1) n \geqq 1のとき,I_n(x)I_{n-1}(x)を用いて表せ.
(2) n \geqq 1のとき,等式I_0(x)-\dfrac{I_n(x)}{n!}={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{x^k}{k!}e^{-x}が成り立つことを示せ.
(3) 0 \leqq x \leqq 1のとき,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{I_n(x)}{n!}=0が成り立つことを示せ.
(4) 0 \leqq x \leqq 1のとき,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^k}{k!}=e^x}が成り立つことを示せ.

4.(鳥取大)
関数f(x)=(1-x)^{-1}~(x \ne 1)について,
(1) 自然数nに対して,関数f(x)n回微分して得られる関数f^{(n)}(x)を求めよ.
(2) 自然数nに対して,
f(a)=1+a+a^2+\cdots+a^{n-1}+{\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{n(a-x)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}}dx}\cdots(*)
が成り立つことを数学的帰納法により証明せよ.ただし0<a<1とする.
(3) (2)の(*)式右辺において,積分で表される項を次のようにR_n(a)とする.
R_n(a)={\displaystyle\int_{0}^{a}\dfrac{n(a-x)^{n-1}}{(1-x)^{n+1}}dx}
0<a<1のとき,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}R_n(a)を求めよ.

解答

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