積分と級数4

2018年1月24日

次はワリスの公式 (ウォリスの公式)に関わる問題です。

1.(広島大)
I_n={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx}~(n=0,~1,~2,~\cdots)とおく.ただし,\sin^0 x=1とする.
(1) n=0,~1,~2,~\cdotsに対して,不等式I_n \geqq I_{n+1}および関係式I_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}I_nを示せ.
(2) n=1,~2,~3,~\cdotsに対して
a_n=\left(\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\cdots\cdot\dfrac{2n}{2n-1}\right)\left(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\cdots\cdot\dfrac{2n}{2n+1}\right)
とおく.a_nI_{2n},~I_{2n+1}を用いて表せ.
(3) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n=\dfrac{\pi}{2}を示せ.

2.(静岡大)
数列\{a_n\}~(n=0,~1,~2,~\cdots)を次のように定める.
a_n={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n\theta d\theta}
(1) n \geqq 2に対して,a_{n}=\dfrac{n-1}{n}a_{n-2}を示せ.
(2) nが偶数のときと奇数のときに分けて,a_nを表す式を求めよ.
(3) n \geqq 1に対して,na_na_{n-1}を求めよ.
(4) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}na_n^2を求めよ.

最後にスターリングの公式についてです。これらの公式は\piの近似値を計算するのに利用されていました。

3.(大阪大)
数列\{a_n\}a_n=\dfrac{n!}{\sqrt{n}n^ne^{-n}}で定める.このとき{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n=\sqrt{2\pi}であることを以下の手順で示せ.
(1) 数列\{b_n\}b_n=\dfrac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt{n}(2n)!}で定める.0<x<\dfrac{\pi}{2}のとき\sin^{2n+1}x<\sin^{2n}x<\sin^{2n-1}x~(n=1,~2,~3,~\cdots)であることを用いて,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}b_n=\sqrt{\pi}であることを示せ.
(2) すべての自然数nに対して0<\log\dfrac{a_n}{a_{n+1}}<\dfrac{100}{n(n+1)}が成り立つことを示せ.
(3) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{a_{2n}}=1であることを示せ.
(4) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n=\sqrt{2\pi}であることを示せ.

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