積分と級数４

2017年12月9日2018年1月24日

次はワリスの公式 (ウォリスの公式)に関わる問題です。

１．(広島大)
$I_n={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx}~(n=0,~1,~2,~\cdots)$ とおく．ただし， $\sin^0 x=1$ とする．
(1) $n=0,~1,~2,~\cdots$ に対して，不等式 $I_n \geqq I_{n+1}$ および関係式 $I_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}I_n$ を示せ．
(2) $n=1,~2,~3,~\cdots$ に対して
$a_n=\left(\dfrac{2}{1}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot\cdots\cdot\dfrac{2n}{2n-1}\right)\left(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\cdots\cdot\dfrac{2n}{2n+1}\right)$
とおく． $a_n$ を $I_{2n},~I_{2n+1}$ を用いて表せ．
(3) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n=\dfrac{\pi}{2}$ を示せ．

２．(静岡大)
数列 $\{a_n\}~(n=0,~1,~2,~\cdots)$ を次のように定める．
$a_n={\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n\theta d\theta}$
(1) $n \geqq 2$ に対して， $a_{n}=\dfrac{n-1}{n}a_{n-2}$ を示せ．
(2) $n$ が偶数のときと奇数のときに分けて， $a_n$ を表す式を求めよ．
(3) $n \geqq 1$ に対して， $na_na_{n-1}$ を求めよ．
(4) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}na_n^2$ を求めよ．

最後にスターリングの公式についてです。これらの公式は $\pi$ の近似値を計算するのに利用されていました。

３．(大阪大)
数列 $\{a_n\}$ を $a_n=\dfrac{n!}{\sqrt{n}n^ne^{-n}}$ で定める．このとき ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n=\sqrt{2\pi}$ であることを以下の手順で示せ．
(1) 数列 $\{b_n\}$ を $b_n=\dfrac{2^{2n}(n!)^2}{\sqrt{n}(2n)!}$ で定める． $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ のとき $\sin^{2n+1}x<\sin^{2n}x<\sin^{2n-1}x~(n=1,~2,~3,~\cdots)$ であることを用いて， ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}b_n=\sqrt{\pi}$ であることを示せ．
(2) すべての自然数 $n$ に対して $0<\log\dfrac{a_n}{a_{n+1}}<\dfrac{100}{n(n+1)}$ が成り立つことを示せ．
(3) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{a_{2n}}=1$ であることを示せ．
(4) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n=\sqrt{2\pi}$ であることを示せ．

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