積分と絶対不等式

2017年12月21日

積分のシュワルツの不等式の問題です。

1.(防衛医大)
(1) f(x),~g(x)はともに区間a \leqq x \leqq b~(a<b)で定義された連続な関数とする.このとき,tを任意の実数として{\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)+tg(x)\}^2dx}を考えることにより不等式
\left\{{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx}\right\}^2 \leqq {\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)\}^2dx \cdot \int_{a}^{b}\{g(x)\}^2dx}
が成立することを示せ.また,等号はいかなるときに成立するかを述べよ.
ここで,区間a \leqq x \leqq bで定義された連続関数h(x){\displaystyle\int_{a}^{b}\{h(x)\}^2dx}=0ならば,h(x)はこの区間a \leqq x \leqq bで恒等的に0であることを用いてよい.
(2) f(x)は区間0 \leqq x \leqq \piで定義された連続関数で
\left\{{\displaystyle\int_{0}^{\pi}(\sin x+\cos x)f(x)dx}\right\}^2=\pi{\displaystyle\int_{0}^{\pi}\{f(x)\}^2dx}
およびf(0)=1を満たしている.このとき,
(ⅰ) f(x)を求めよ.
(ⅱ) {\displaystyle\int_{0}^{\pi}\{f(x)\}^3dx}を求めよ.

解答

2.(香川医大)
閉区間[a,b]~(a<b)で連続である2つの関数f(x),~g(x)に対して,定積分に関する不等式
\left\{{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx}\right\}^2 \leqq {\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)\}^2dx\int_{a}^{b}\{g(x)\}^2dx}
が成り立つ.この不等式で等号が成り立つのは,f(x)g(x)の定数倍である場合にかぎる.これらのことを知っていることとして,
(1) 関数h(x)が閉区間[a,b]~(a<b)で連続であり,h(x) \geqq 0,~{\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)dx}=1をみたしている.このとき,すべての整数nに対して,次の不等式が成り立つことを示せ.
\left\{{\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)\cos nxdx}\right\}^2+\left\{{\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)\sin nxdx}\right\}^2 \leqq 1
(2) 次の2つの定積分の値を求めよ.さらに,これらを用いて\dfrac{\pi}{2}-1\log 2の大小を比較せよ.ただし,対数は自然対数とする.
(ア) {\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x}\right)^2dx}
(イ) {\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\dfrac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right)^2dx}

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