積分と絶対不等式

2017年12月10日2017年12月21日

積分のシュワルツの不等式の問題です。

１．(防衛医大)
(1) $f(x),~g(x)$ はともに区間 $a \leqq x \leqq b~(a<b)$ で定義された連続な関数とする．このとき， $t$ を任意の実数として ${\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)+tg(x)\}^2dx}$ を考えることにより不等式
$\left\{{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx}\right\}^2 \leqq {\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)\}^2dx \cdot \int_{a}^{b}\{g(x)\}^2dx}$
が成立することを示せ．また，等号はいかなるときに成立するかを述べよ．
ここで，区間 $a \leqq x \leqq b$ で定義された連続関数 $h(x)$ が ${\displaystyle\int_{a}^{b}\{h(x)\}^2dx}=0$ ならば， $h(x)$ はこの区間 $a \leqq x \leqq b$ で恒等的に0であることを用いてよい．
(2) $f(x)$ は区間 $0 \leqq x \leqq \pi$ で定義された連続関数で
$\left\{{\displaystyle\int_{0}^{\pi}(\sin x+\cos x)f(x)dx}\right\}^2=\pi{\displaystyle\int_{0}^{\pi}\{f(x)\}^2dx}$
および $f(0)=1$ を満たしている．このとき，
(ⅰ) $f(x)$ を求めよ．
(ⅱ) ${\displaystyle\int_{0}^{\pi}\{f(x)\}^3dx}$ を求めよ．

→解答

２．(香川医大)
閉区間 $[a,b]~(a<b)$ で連続である2つの関数 $f(x),~g(x)$ に対して，定積分に関する不等式
$\left\{{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx}\right\}^2 \leqq {\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)\}^2dx\int_{a}^{b}\{g(x)\}^2dx}$
が成り立つ．この不等式で等号が成り立つのは， $f(x)$ が $g(x)$ の定数倍である場合にかぎる．これらのことを知っていることとして，
(1) 関数 $h(x)$ が閉区間 $[a,b]~(a<b)$ で連続であり， $h(x) \geqq 0,~{\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)dx}=1$ をみたしている．このとき，すべての整数 $n$ に対して，次の不等式が成り立つことを示せ．
$\left\{{\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)\cos nxdx}\right\}^2+\left\{{\displaystyle\int_{a}^{b}h(x)\sin nxdx}\right\}^2 \leqq 1$
(2) 次の2つの定積分の値を求めよ．さらに，これらを用いて $\dfrac{\pi}{2}-1$ と $\log 2$ の大小を比較せよ．ただし，対数は自然対数とする．
(ア) ${\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\dfrac{\cos x}{\sin x+\cos x}\right)^2dx}$
(イ) ${\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\dfrac{\sin x+\cos x}{\cos x}\right)^2dx}$

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