区分求積法２

2017年12月10日2018年9月3日

次は区分求積法を利用して極限値を求める問題です。

１．
次の極限値を求めよ．
(1) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k}{\sqrt{n^2+k^2}}}$
(2) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{1}{n}\left(\sqrt{\dfrac{1}{n}}+\sqrt{\dfrac{2}{n}}+\cdots+\sqrt{\dfrac{n}{n}}\right)$
(3) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdots+\dfrac{1}{2n}\right)$
(4) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{2n-1}}\right)$

２．((2) 芝浦工業大)
次の極限値を求めよ．
(1) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{1}{n}\left\{\left(\dfrac{1}{n}\right)^2+\left(\dfrac{2}{n}\right)^2+\left(\dfrac{3}{n}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{3n}{n}\right)^2\right\}$
(2) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{k}}$
(3) ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\left(\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+3}+\dfrac{1}{n+5}+\cdots+\dfrac{1}{n+(2n-1)}\right)$

次はメルカトール級数に関わる問題です。

３．(大阪市立大)
自然数 $n$ に対して $S_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{(-1)^{k-1}}{k},~T_n={\displaystyle\sum_{k=1}^{n}}\dfrac{1}{n+k}$ とおくとき，
(1) すべての自然数 $n$ に対して $S_{2n}=T_n$ が成り立つことを示せ．
(2) 極限 ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}S_{2n}$ を求めよ．
(3) 極限 ${\displaystyle\lim_{n \to \infty}}S_{2n-1}$ を求めよ．

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