区分求積法3

2017年12月11日

2の続きです。対数をとるなど少し工夫が必要な問題です。

1.((1) 早稲田大 (2) 金沢大)
(1) 極限{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(n+n)}を求めよ.
(2) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{1}{n}\left\{\dfrac{(2n)!}{n!}\right\}^{\frac{1}{n}}を求めよ.

2.(琉球大)
nを自然数とする.
(1) 極限値{\displaystyle\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\dfrac{k}{3n}\right)}を求めよ.
(2) 極限値{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{(3n+1)(3n+2)\cdots(4n)}を求めよ.

3.((1) 防衛医大 (2) 北海道大 (3) 東京工業大)
(1) 極限値{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{\dfrac{(4n)!}{(3n)!}}を求めよ.
(2) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\left(\dfrac{(2n)!}{n!n^n}\right)^{\frac{1}{n}}を求めよ.
(3) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\left(\dfrac{_{3n}\mbox{C}_n}{_{2n}\mbox{C}_n}\right)^{\frac{1}{n}}を求めよ.

4.(新潟大)
一般項がa_n=\dfrac{n!}{n^n}で表される数列\{a_n\}について,
(1) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}a_n=0を示せ.
(2) {\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\dfrac{a_n}{a_{n+1}}を求めよ.
(3) 2以上の整数kに対して,{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}\left(\dfrac{a_{kn}}{a_n}\right)^{\frac{1}{n}}kを用いて表せ.

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